Центральная предельная теорема для чайников. Математика, которая мне нравится. Локальная Ц. П. Т

Чарльз Уилан Глава из книги
Издательство «Манн, Иванов и Фербер»

Наконец, настало время подвести итог сказанному. Поскольку средние значения выборок распределены по нормальному закону (благодаря центральной предельной теореме), мы можем воспользоваться богатым потенциалом кривой нормального распределения. Мы рассчитываем, что примерно 68% средних значений всех выборок будут отстоять от среднего значения совокупности на расстоянии, не превышающем одной стандартной ошибки; 95% - на расстоянии, не превышающем двух стандартных ошибок; и 99,7% - на расстоянии, не превышающем трех стандартных ошибок.

Теперь вернемся к отклонению (разбросу) в примере с пропавшим автобусом - правда, на этот раз призовем на помощь не интуицию, а числа. (Сам по себе этот пример остается абсурдным; в следующей главе мы рассмотрим множество более близких к реальности случаев.) Допустим, что организаторы исследования Americans" Changing Lives пригласили всех его участников на выходные в Бостон, чтобы весело провести время и заодно предоставить кое-какие недостающие данные. Участников распределяют произвольным образом по автобусам и отвозят в тестовый центр, где их взвесят, определят рост и т. п. К ужасу организаторов мероприятия, один из автобусов пропадает где-то по пути в тестовый центр. Об этом событии оповещают в программе новостей местного радио и телевидения. Возвращаясь примерно в то же время в своем автомобиле с Фестиваля любителей сосисок, вы замечаете на обочине дороги сломавшийся автобус. Похоже, его водитель был вынужден резко свернуть в сторону, пытаясь уклониться от столкновения с лосем, неожиданно появившимся на дороге. От столь резкого маневра все пассажиры потеряли сознание или лишились дара речи, хотя никто из них, к счастью, не получил серьезных травм. (Такое предположение понадобилось мне исключительно для чистоты приведенного здесь примера, а надежда на отсутствие у пассажиров серьезных травм объясняется моим врожденным человеколюбием.) Врачи кареты скорой помощи, оперативно прибывшие на место происшествия, сообщили вам, что средний вес 62 пассажиров автобуса составляет 194 фунта. Кроме того, оказалось (к огромному облегчению всех любителей животных), что лось, от столкновения с которым пытался увернуться водитель автобуса, практически не пострадал (если не считать легкого ушиба задней ноги), но от сильного испуга тоже потерял сознание и лежит рядом с автобусом.

К счастью, вам известен средний вес пассажиров автобуса, а также сред-неквадратическое отклонение для всей совокупности Americans" Changing Lives. Кроме того, мы имеем общее представление о центральной предельной теореме и знаем, как оказать первую помощь пострадавшему животному. Средний вес участников исследования Americans" Changing Lives составляет 162 фунта; среднеквадратическое отклонение равняется 36. На основе этой информации вы можете вычислить стандартную ошибку для выборки из 62 человек (количество пассажиров автобуса, потерявших сознание): .

Разница между средним значением этой выборки (194 фунта) и средним значением совокупности (162 фунта) равна 32 фунта, то есть значительно больше трех стандартных ошибок. Из центральной предельной теоремы вам известно, что 99,7% средних значений всех выборок будут отстоять от среднего значения совокупности на расстоянии, не превышающем трех стандартных ошибок. Таким образом, крайне маловероятно, что встретившийся вам автобус перевозит группу участников исследования Americans" Changing Lives. Будучи видным общественным активистом города, вы звоните организаторам мероприятия, чтобы сообщить, что в повстречавшемся вам автобусе, скорее всего, находится какая-то другая группа людей. Правда, в этом случае вы можете опираться на статистические результаты, а не свои «интуитивные догадки». Вы сообщаете организаторам, что отрицаете вероятность того, что найденный вами автобус именно тот, который они разыскивают, с 99,7% доверительным уровнем. А поскольку в данном случае вы разговариваете с людьми, знакомыми со статистикой, то можете не сомневаться, они понимают, что вы правы. (Всегда приятно иметь дело с умными людьми!)

Сделанные вами выводы находят дальнейшее подтверждение, когда врачи скорой помощи берут пробы крови у пассажиров автобуса и обнаруживают, что средний уровень холестерина в их крови превышает средний уровень холестерина в крови участников исследования Americans" Changing Lives на пять стандартных ошибок. Из этого следует, что впавшие в бессознательное состояние пассажиры - участники Фестиваля любителей сосисок. (Впоследствии это было неопровержимо доказано.)

[У этой истории оказался счастливый конец. Когда к пассажирам автобуса вернулось сознание, организаторы исследования Americans" Changing Lives посоветовали им проконсультироваться у специалистов-диетологов относительно опасности употребления в пищу продуктов с высоким содержанием насыщенных жиров. После таких консультаций многие из любителей сосисок решили порвать со своим позорным прошлым и вернуться к более здоровому рациону питания. Пострадавшего лося выходили в местной ветеринарной клинике и выпустили на свободу под одобрительные возгласы членов местного Общества защиты животных. Да, история почему-то умалчивает о судьбе водителя автобуса. Возможно, потому, что статистика не занимается судьбами отдельно взятых людей. Лось - совсем другое дело, замолчать его судьбу не удастся! В случае чего за него может вступиться Общество защиты животных.]

В этой главе я пытался говорить только об основах. Вы, наверное, обратили внимание, что центральная предельная теорема применима лишь в случаях, когда размер выборки достаточно велик (как правило, не менее 30). Кроме того, нам требуется относительно большая выборка, если мы намерены предположить, что ее среднеквадратическое отклонение будет примерно таким же, как и среднеквадратическое отклонение генеральной совокупности.

Существует немало статистических поправок, которые можно применять в случае несоблюдения указанных условий, но все это похоже на сахарную глазурь на торте (и, возможно, даже на шоколадные крошки, которыми присыпают эту глазурь сверху). «Общая картина» здесь проста и чрезвычайно эффективна.

Если вы формируете на основе какой-либо совокупности большие (по объему) случайные выборки, то их средние значения будут распределены по нормальному закону вблизи среднего значения соответствующей совокупности (какой бы вид ни имело распределение исходной совокупности).
Большинство средних значений выборок будет расположено достаточно близко к среднему значению совокупности (что именно следует в том или ином случае считать «достаточно близким», определяется стандартной ошибкой).
Центральная предельная теорема говорит нам о вероятности того, что среднее значение выборки будет находиться не дальше определенного расстояния от среднего значения совокупности. Относительно маловероятно, что среднее значение выборки будет отстоять от среднего значения совокупности дальше, чем на расстояние двух стандартных ошибок, и крайне маловероятно, что среднее значение выборки будет отстоять от среднего значения совокупности дальше, чем на расстояние трех и более стандартных ошибок.
Чем меньше вероятность того, что какой-то исход оказался чисто случайным, тем больше мы можем быть уверены в том, что здесь не обошлось без воздействия какого-то другого фактора.

В этом по большому счету и заключается сущность статистического вывода. Центральная предельная теорема главным образом делает все это возможным. И до тех пор, пока Леброн Джеймс не станет столько раз чемпионом НБА, сколько Майкл Джордан (шесть), центральная предельная теорема будет производить на нас гораздо большее впечатление, чем знаменитый баскетболист.

Леброн Рэймон Джеймс (LeBron Raymone James) - американский профессиональный баскетболист, играющий на позиции легкого и тяжелого форварда за команду НБА «Кливленд Кавальерс». Прим. перев.

Обратите внимание на весьма остроумное использование в данном случае ложной точности.

Когда среднеквадратическое отклонение соответствующей совокупности вычисляется на основании меньшей выборки, приведенная нами формула несколько видоизменяется: Это помогает учесть то обстоятельство, что дисперсия в малой выборке может «недооценивать» дисперсию всей совокупности. Это не имеет особого отношения к более универсальным положениям, о которых идет речь в данной главе.

Мой коллега из Чикагского университета, Джим Сэлли, сделал очень важное критическое замечание по поводу примеров с пропавшим автобусом. Он указал, что пропавший автобус - чрезвычайно большая редкость в наше время. Поэтому если нам придется искать какой-нибудь пропавший автобус, то любой встретившийся нам автобус, который окажется пропавшим или поломавшимся, наверняка будет именно тем автобусом, который нас интересует, каким бы ни был вес пассажиров в этом автобусе. Пожалуй, Джим прав. (Воспользуюсь такой аналогией: если вы потеряли в супермаркете своего ребенка и дирекция этого магазина сообщает по радио, что возле кассы номер шесть стоит чей-то потерявшийся ребенок, то вы наверняка сразу же решите, что речь идет именно о вашем ребенке.) Следовательно, нам не остается ничего другого, как дополнить наши примеры еще одним элементом абсурда, полагая, что пропажа автобуса является вполне рядовым событием.

Продемонстрируем основные выводы Центральной предельной теоремы с помощью MS EXCEL : построим выборочное распределение среднего, рассчитаем стандартную ошибку и сравним значения, полученные на основе выборки, с выводами ЦПТ.

стремится к нормальному распределению со средним значением μ и стандартным отклонением равным σ/√n

Примечание : Про статистики и их выборочные распределения можно прочитать в статье .

Покажем почему равно σ/√n.

Каждое отдельное наблюдение X i в выборке имеет дисперсию σ 2 . Из , следует, что сумма независимых случайных величин в выборке , т.е. х 1 +х 2 …+х n , имеет дисперсию n*σ 2 , а стандартное отклонение этой суммы равно КОРЕНЬ(n) *σ. Чтобы найти стандартное отклонение среднего выборки нужно разделить стандартное отклонение суммы на n. В результате получим, что стандартное отклонение выборочного среднего равно σ/√n.

Т.к. обычно стандартное отклонение исходного распределения, из которого взята выборка, неизвестно, то в расчетах вместо σ используют ее оценку s - стандартное отклонение выборки .

Соответствующая величина s/√n, где n – размер выборки , имеет специальное название: Стандартная ошибка (Standard Error of the Mean , SE M ).

Примечание : Термин SEM иногда также может использоваться для стандартного отклонения выборочного распределения среднего.

Примечание : Хотя Стандартная ошибка является, по сути, стандартным отклонением , ее специальное название обусловлено стремлением подчеркнуть, что она показывает величину неопределенности выборочного среднего . Стандартная ошибка оценивает насколько выборочное среднее Х ср отличается от среднего значения μ исходного распределения. А термин стандартное отклонение обычно используют для обозначения величины изменчивости отдельных элементов выборки от среднего .

Для применения ЦПТ необходимо, чтобы были выполнены следующие условия:

отдельные наблюдения в выборке должны быть независимыми;
наблюдения берутся из одной и той же генеральной совокупности , т.е. имеют одинаковое распределение с параметрами μ и σ;
размер выборки n должен быть «достаточно большим» (см. пояснения ниже).

Примечание : Выборочное среднее является случайной величиной. Есливыполнены вышеуказанные условия, то Выборочное среднее распределено по нормальному закону . При этом не требуется, чтобы исходное распределение, из которого делается выборка , должно быть нормальным .

Примечание : Несмотря, что отдельные значения x i подчиняются какому-то неизвестному нам закону распределения, процедура объединения многих значений для вычисления суммы или среднего , приводит к нормальному распределению (для которого мы умеем вычислять вероятности). Зачастую, имеет смысл говорить, является распределение нормальным или нет, только в отношении суммы или среднего .

Примеры расчета вероятности в MS EXCEL с использованием ЦПТ

Задача1 . Предприятие производит плавленые сырки. Номинальный вес сырка должен составлять 100 грамм. По естественным причинам, вес каждого сырка отличается от номинала. Из опыта известно, что средний вес сырка составляет 105г, а стандартное отклонение равно 15г. Чтобы избежать потери репутации фирмы вес сырка не должен быть слишком мал, но он не должен быть слишком велик, т.к. при этом увеличиваются расходы. Известно, что любую упаковку из 30 штук сырков отбраковывают, если средний вес сырка в ней меньше 95г и больше чем 110г. Какая часть упаковок будет отбракована при 100% контроле?

Чтобы найти вероятность (долю отбракованных упаковок), мы должны знать распределение случайной величины - веса упаковки. Хотя мы не знаем формы распределения отдельного сырка (это распределение не обязательно нормальное ), но из ЦПТ нам известно, что вес упаковки будет распределен по нормальному закону . Осталось определить параметры этого распределения.

Примечание : Хотя в ЦПТ сказано, что по нормальному закону распределено выборочное среднее , но очевидно, что выборочное распределение суммы также будет распределено по нормальному закону , но с другими параметрами.

Из условий задачи мы знаем, что среднее значение веса упаковки сырков равно 30шт *105г . Мы также можем вычислить стандартное отклонение этого выборочного распределения .

Стандартное отклонение известно только для сырка (15г ), но из (считаем, что веса сырков получаются случайным образом) можно вычислить Стандартное отклонение для упаковки:
Var(x 1 +…+x 30)= Var(x 1)+…+ Var(x 30)=30* Var(x)

Т.к. считаем, что все веса х i имеют одинаковое распределение, то случайную величину (вес сырка) обозначим просто х.

Следовательно, стандартное отклонение упаковки сырков =15*КОРЕНЬ(30)

Сначала определим вероятность, того что упаковка сырков будет весить менее 95*30г. В MS EXCEL это можно сделать с помощью формулы:
=НОРМ.РАСП(95*30; 105*30; 15*КОРЕНЬ(30); ИСТИНА)=0,013%

Теперь определим вероятность того, что упаковка сырков будет весить больше 110*30г.
=1-НОРМ.РАСП(110*30; 105*30; 15*КОРЕНЬ(30); ИСТИНА)=3,395%

Таким образом, отбраковано будет 3,395%+0,013%=3,407% продукции.

Тот же результат можно получить при расчете через среднее значение одного сырка:
=НОРМ.РАСП(95; 105; 15/КОРЕНЬ(30); ИСТИНА)+ 1-НОРМ.РАСП(110; 105; 15/КОРЕНЬ(30); ИСТИНА)

Задача2 . Из свойств нормального распределения можно ожидать, что примерно в 95% случаях выборочное среднее будет находиться в пределах 2-х стандартных ошибок от среднего генеральной совокупности (исходного распределения, из которого взята выборка ), т.е. в пределах:

2*s/КОРЕНЬ(n)<μ<2*s/КОРЕНЬ(n)

Например, пусть размер выборки n=30, среднее генеральной совокупности μ =0, а вычисленное на основе выборки стандартное отклонение s=5.

В этом случае стандартная ошибка = 5/КОРЕНЬ(30)

Покажем с помощью формулы MS EXCEL, что искомая вероятность действительно близка к 95%:
=1-((1-НОРМ.РАСП(2*5/КОРЕНЬ(30);0;5/КОРЕНЬ(30);ИСТИНА))+ НОРМ.РАСП(-2*5/КОРЕНЬ(30);0;5/КОРЕНЬ(30);ИСТИНА))=95,45%

Как работает ЦПТ при n=3 и n=10

Для демонстрации выводов ЦПТ проведем «оценку нормальности» распределения выборочного среднего при n=3 и n=10.

В качестве исходного распределения возьмем , описывающее вероятность выпадения определенной грани при бросании игральной кости.

Как известно, среднее значение этого распределения =(1+6)/2=3,5 ; а стандартное распределение =КОРЕНЬ(((6-1+1)^2-1)/12)=1,708

С помощью MS EXCEL произведем 100 серий по 3 броска кубика (n=3) и 100 серий по 10 бросков (n=10).

Для каждой серии бросков (т.е. для каждой выборки ) будем вычислять выборочное среднее. Затем вычислим среднее Выборочных средних и стандартную ошибку . Убедимся, что в соответствии с ЦПТ , эти значения равны 3,5 и 1,708/КОРЕНЬ(n) , соответственно.

Также построим , чтобы убедиться, что выборочное среднее распределено по , и для исходного равномерного распределения и распределения выборочного среднего.

файле примера на листе ЦПТ Классик .

При n=3 График проверки распределения на нормальность будет соответствовать прямой очень условно (сохраняется дискретность данных, унаследованная от исходного распределения), но для n=10 – соответствие нормальному распределению будет хорошим.

Примечание : В качестве иллюстрации сравним графики проверки распределения на нормальность при n=3 и исходного , т.е. для n=1 (красные точки на рисунке ниже). Как видно на рисунке, значения, взятые из равномерного распределения, располагаются четко выраженными группами.

Среднее и Стандартная ошибка Выборочного распределения среднего близки к расчетным значениям, предсказанным ЦПТ .

Для n=10 видно, что разброс значений выборочного среднего (гистограмма слева) не имеет ничего общего с гистограммой, полученной на основе выборки из исходного равномерного распределения (гистограмма справа).

Вывод : С помощью MS EXCEL мы продемонстрировали как работает ЦПТ : не смотря на то, что исходное распределение по форме не имеет ничего общего с нормальным , уже при небольшом n=10 выборочное среднее распределено по закону близкому к нормальному с тем же средним значением и со стандартным отклонением равным стандартной ошибке .

На практике часто требуется определить размер выборки n, достаточный, чтобы распределение выборочного среднего было достаточно близко к нормальному. Очевидно, что асимптотическое приближение распределения выборочного среднего зависит от исходного распределения, из которого берется выборка (если исходное распределение имеет , то распределение выборочного среднего будет медленнее приближаться к нормальному с ростом n). На практике исходное распределение неизвестно, поэтому обычно предполагается, что размер выборки должен быть n=>30.

Алгоритм решения задач с применением классической ЦПТ

Вы проводите аудит крупного банка. Банковский служащий сообщил Вам, что средний депозит в банке составляет 200 долл., а стандартное отклонение равно 45 долл. Вам нужно убедиться в истинности информации, сообщенной менеджером, поэтому Вы решаете взять данные по случайным 50 депозитам.
Дайте описание выборочного распределения среднего при n =50. Предполагая, что сообщенные менеджером характеристики распределения верны, вычислить вероятность, что рассчитанное Вами среднее значение выборки будет меньше 190 долл.

СОВЕТ : Отличное изложение материала по данной теме приведено на сайте http://brownmath.com/swt/chap08.htm (англ.)

Сначала дадим описание выборочного распределения среднего . Зачем нам это нужно? Дело в том, чтобы вычислить вероятность необходимо знать распределение вероятности. Т.е. нужно показать, что выборочное среднее распределено по нормальному закону.

Напомним, что для того, чтобы описать любое распределение необходимо вычислить его среднее , разброс и форму .

Форма распределения . Для того, чтобы решить задачу необходимо убедиться, что выборочное распределение среднего является нормальным (выполняются условия применимости ЦПТ). Как правило, для этого необходимо проверить 2 условия:

размер выборки не должен превышать 10% от генеральной совокупности ;
размер выборки достаточен, чтобы, несмотря на форму исходного распределения, распределение выборочного среднего было нормальным . Обычно достаточно, чтобы n было больше 30.

Будем считать, что первое условие выполнено (пусть известно, что в банке более 1000 депозитов), соответственно, 50 депозитов составляет менее 10% от общего количества депозитов банка. Исходное распределение, скорее всего, будет смещенным влево, т.к. обычно большинство депозитов небольшого и среднего размера, а крупных депозитов гораздо меньше. Размер выборки является достаточно большим (50>30), чтобы гарантировать, что форма распределения выборочного среднего является близкой к нормальному распределению .

Среднее . Среднее выборочного распределения , согласно ЦПТ , равно среднему исходного распределения, т.е. в нашем случае 200 долл.

Разброс . Стандартное отклонение выборочного среднего (стандартная ошибка ), согласно ЦПТ, равна =45/КОРЕНЬ(50)=6,36 .

Теперь переходим непосредственно к решению задачи. Сначала построим выборочного среднего N(200; 45/КОРЕНЬ(50)).

Зеленая вертикальная линия соответствует х=190 долл.

По условиям задачи мы взяли выборку из 50 депозитов и вычислили среднее этой выборки (Хср). Теперь рассчитаем вероятность того, что Хср будет меньше 190 долл. Это можно сделать с помощью формулы
=НОРМ.РАСП(190; 200; 45/КОРЕНЬ(50); ИСТИНА)=0,058

Таким образом, если Х ср, вычисленное по 50 депозитам, окажется меньше 190 долл., то, это может стать серьезным основанием для сомнений в истинности слов банковского служащего (утверждавшего, что средний банковский депозит равен 200 долл.), т.к. это является маловероятным событием (<6%).

Расчеты приведены в файле примера на листе Задача .

Примечание : Частой ошибкой при решении подобных задач является неправильное использование стандартного отклонения , т.е. когда вместо стандартной ошибки используют известное стандартное отклонение исходного распределения (45 долл.), которое не обязательно является нормальным . Но, даже если исходное распределение нормальное , то вычисленное значение вероятности (в нашем случае оно будет около 40%) всегда существенно выше правильного значения (примерно 6%). Это соответствует схеме расчета, если бы мы выбрали лишь 1 депозит (вместо 50) и попытались бы на основании его значения принять решение об истинности слов служащего банка.

Резюме : Чаще всего на практике распределение, из которого делается выборка не известно (можно лишь предположить, что распределение банковских депозитов, скорее всего, скошено влево, т.к. обычно небольшие вклады составляют наибольшее количество). Но, не зная математического выражения для распределения, мы не можем оценить вероятность извлечь определенное значение из него. Именно в таких случаях нам помогает ЦПТ .

Альтернативная формулировка ЦПТ

Теперь рассмотрим как работает ЦПТ в случае, когда случайная величина является суммой случайных величин, распределенных по различным законам с различными средними и стандартными отклонениями .

Если x 1 , x 2 , x 3 , … x n – случайные величины с известными значениями среднего μ i и стандартного отклонения σ i , и y= x 1 +x 2 +x 3 + … +x n , то распределение

приближается к N (0;1) при n стремящемуся к бесконечности.

Другими словами ЦПТ утверждает, что сумма n независимых случайных величин при достаточно большом n , будет распределена по нормальному закону со средним значением равным сумме средних значений этих случайных величин и дисперсией равной сумме их дисперсий , т.е. по закону

Как и в случае классической ЦПТ , для демонстрации выводов ЦПТ используем MS EXCEL. В качестве исходных распределений возьмем 4 B(0,1; 20), 3 U и 3 ). В этой книге мы, о производящих функциях будем давать краткую информацию и некоторые применения к подсчёту числовых характеристик случайных величин.

Краткие сведения об ошибке измерений. Известно, что при повторении измерений одного и того же объекта, выполненными одним и тем же измерительным прибором с одинаковой тщательностью (при одинаковых условиях) не всегда достигаются одинаковые результаты. Разброс результатов измерения вызван тем, что на процесс измерения влияют многочисленные факторы, которые не возможно и не целесообразно учитывать. В этой ситуации ошибку, возникающую при измерении интересующей нас величины часто можно рассматривать как сумму большого числа независимых между собой слагаемых, каждое из которых даёт лишь незначительный вклад в образование всей суммы. Но такие случаи приводят нас как раз к условиям применимости теоремы Ляпунова и можно ожидать, что распределение ошибки измеряемой величины мало отличается от нормального распределения.

В более общем случае, ошибка является функцией большого числа случайных аргументов, каждый из которых лишь немного отличается от своего математического ожидания. Линеаризуя эту функцию, то есть, заменяя её линейной, опять приходят к предыдущему случаю. Накопленный опыт по статистической обработке результатов измерений действительно подтверждает этот факт в большинстве практических случаев.

Аналогичные рассуждения объясняют появление нормального распределения в отклонениях параметров, определяющих выпущенную готовую продукцию (изделия), от нормативных значений при массовом производстве.

Рассмотрим следующий пример.

Пример 5. Независимые случайные величиныраспределены равномерно на отрезке . Найти закон распределения с.в.
, а также вероятность того, что

Решение. Условия ЦПТ соблюдается, поэтому с.в.имеет приближенно плотность распределения

По известным формулам для м.о. и дисперсии в случае равномерного распределения находим: Тогда

На основании формулы (26), находим (с учётом табличных значений функции Лапласа)

Практика изучения случайных явлений показывает, что хотя результаты отдельных наблюдений, даже проведенных в одинаковых условиях, могут сильно отличаться, в то же время средние результаты для достаточно большого числа наблюдений устойчивы и слабо зависят от результатов отдельных наблюдений. Теоретическим обоснованием этого замечательного свойства случайных явлений является закон больших чисел . Общий смысл закона больших чисел — совместное действие большого числа случайных факторов приводит к результату, почти не зависящему от случая.

Центральная предельная теорема

Теорема Ляпунова объясняет широкое распространение нормального закона распределения и поясняет механизм его образования. Теорема позволяет утверждать, что всегда, когда случайная величина образуется в результате сложения большого числа независимых случайных величин, дисперсии которых малы по сравнению с дисперсией суммы, закон распределения этой случайной величины оказывается практически нормальным законом. А поскольку случайные величины всегда порождаются бесконечным количеством причин и чаще всего ни одна из них не имеет дисперсии, сравнимой с дисперсией самой случайной величины, то большинство встречающихся в практике случайных величин подчинено нормальному закону распределения. ()

Итак, — наиболее распространенное в природе распределение непрерывных величин. Математическим обоснованием этого факта служит центральная предельная теорема:

Сумма большого числа как угодно распределенных независимых случайных величин распределена асимптотически нормально, если только слагаемые вносят равномерно малый вклад в сумму.

Это значит, что чем больше независимых слагаемых в сумме, тем ближе закон ее распределения к нормальному. Вместо суммы часто рассматривают среднее арифметическое большого числа случайных величин, оно отличается от суммы только множителем (1/n) , поэтому его распределение также стремится к нормальному с ростом числа n суммируемых величин. Поскольку случайные величины, с которыми мы сталкиваемся, например, при измерениях, есть результат действия множества независимых факторов, понятно, почему измеряемые значения, как правило, распределены нормально.

Следствием центральной предельной теоремы является широко применяемая при решении задач теорема Муавра-Лапласа.

Дополнительные тезисы:

Следует отметить, что центральная предельная теорема справедлива не только для непрерывных, но и для дискретных случайных величин. Практическое значение теоремы Ляпунова огромно. Опыт показывает, что закон распределения суммы независимых случайных величин, сравнимых по своему рассеиванию, достаточно быстро приближается к нормальному. Уже при числе слагаемых порядка десяти закон распределения суммы можно заменить на нормальный. Но в среднем при грубом предположении распределение считают нормальным при n>=30.

Закон больших чисел лежит в основе различных видов страхования (страхование жизни человека на всевозможные сроки, имущества, скота, посевов и др.).

При планировании ассортимента товаров широкого потребления учитывается спрос на них населения. В этом спросе проявляется действие закона больших чисел.

Широко применяемый в статистике выборочный метод находит свое научное обоснование в законе больших чисел. Например, о качестве привезенной из колхоза на заготовительный пункт пшеницы судят по качеству зерен, случайно захваченных в небольшую мерку. Зерна в мерке немного по сравнению со всей партией, но во всяком случае мерку выбирают такой, чтобы зерен в ней было вполне достаточно для проявления закона больших чисел с точностью, удовлетворяющей потребности. Мы вправе принять за показатели засоренности, влажности и среднего веса зерен всей партии поступившего зерна соответствующие показатели в выборке. (

Кроме теорем, относящихся к закону больших чисел, существует еще одна группа теорем, которые образуют так называемую центральную предельную теорему. Эта группа теорем определяет условия, при которых возникает нормальный закон распределения. Такие условия достаточно часто встречаются на практике, что, по сути, и является объяснением того, что нормальный закон наиболее часто используется в случайных явлениях на практике. Различие форм центральной предельной теоремы состоит в формулировке разных условий, накладываемых на сумму рассматриваемых случайных величин. Важнейшее место среди всех этих форм принадлежит теореме Ляпунова.

Теорема Ляпунова. Если Х 1 , Х 2 , … , Х n – независимые случайные величины, имеющие конечные математические ожидания и дисперсии, при этом ни одна из величин по своему значению резко не отличается от всех остальных, т.е. оказывает на сумму этих величин ничтожно малое влияние, то при неограниченном увеличении числа случайных величин n , закон распределения их суммы неограниченно приближается к нормальному.

Следствие. Если все случайные величины Х 1 , Х 2 , … , Х n одинаково распределены, то закон распределения их суммы неограниченно приближается к нормальному при неограниченном увеличении числа слагаемых.

Теорема Ляпунова имеет большое практическое значение. Опытным путем было установлено, что приближение к нормальному закону идет достаточно быстро. При выполнении условий теоремы Ляпунова закон распределения суммы даже десяти слагаемых уже можно считать нормальным.

Существует более сложная и более общая форма теоремы Ляпунова.

Общая теорема Ляпунова. Если Х 1 , Х 2 , … , Х n – независимые случайные величины, имеющие математические ожидания а i , дисперсии σ 2 i , центральные моменты третьего порядка т i и

то закон распределения суммы Х 1 + Х 2 + … + Х n при n неограниченно приближается к нормальному с математическим ожиданием и дисперсией .

Смысл условия (2.1) состоит в том, чтобы в сумме случайных величин не было бы ни одного слагаемого, влияние которого на рассеивание суммы величин было бы подавляюще велико по сравнению с влиянием всех остальных случайных величин. Кроме этого, не должно быть большого числа слагаемых, влияние которых на рассеивание суммы очень мало по сравнению с суммарным влиянием остальных.

Одной из самых первых форм центральной предельной теоремы была доказана теорема Лапласа.

Теорема Лапласа. Пусть производится n независимых опытов, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью р , тогда при больших n справедливо приближенное равенство

(2.2)

где Y n – число появлений события А в n опытах; q =1-p ; Ф(х ) – функция Лапласа.

Теорема Лапласа позволяет находить приближенно вероятности значений биномиально распределенных случайных величин при больших значениях величины n . Однако при этом, вероятность р не должна быть ни достаточно маленькой, ни достаточно большой.

Для практических задач часто используется другая форма записи формулы (2.2), а именно

(2.3)

Пример 2.1. Станок выдает за смену n =1000 изделий, из которых в среднем 3% дефектных. Найти приближенно вероятность того, что за смену будет изготовлено не менее 950 хороших (без дефекта) изделий, если изделия оказываются хорошими независимо друг от друга.

Решение . Пусть Y – число хороших изделий. По условию задачи р = 1-0,03=0,97; число независимых опытов n =1000. Применим формулу (2.3):

Пример 2.2, В условиях предыдущего примера выяснить сколько хороших изделий k должен вмещать ящик, чтобы вероятность его переполнения за одну смену не превысила 0,02.

Решение . Из условия ясно, что . Найдем из этого условия число k . Имеем
, т.е. .

По таблице функции Лапласа по значению 0,48 находим аргумент, равный 2,07. Получаем
. ■

Пример 2.3. В банке в определенную кассу за получением некоторых денежных сумм стоят 16 человек. В настоящее время в этой кассе имеется 4000 ден. ед. Суммы Х i , которые необходимо выплатить каждому из 20 человек – это случайные величины с математическим ожиданием т = 160 ден.ед. и средним квадратическим отклонением σ = 70 ден.ед. Найти вероятность того, что денег, имеющихся в кассе, не хватит для выплаты всем стоящим в очереди.

Решение . Применим теорему Ляпунова для одинаково распределенных случайных величин. Величину n = 20 можно считать достаточно большой, следовательно, общую сумму выплат Y = Х 1 + Х 2 + … + Х 16 можно считать случайной величиной распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием т у = nт = 20 160= 3200 и среднеквадратическим отклонением .