वृत्त की गति ज्ञात कीजिए। वृत्ताकार गति. वृत्त में गति का समीकरण. कोणीय वेग। सामान्य = अभिकेन्द्रीय त्वरण। अवधि, परिसंचरण की आवृत्ति (रोटेशन)। रैखिक और कोणीय वेग के बीच संबंध. अवधि और आवृत्ति

चूँकि रैखिक गति समान रूप से दिशा बदलती है, तो वृत्त के अनुदिश गति को एकसमान नहीं कहा जा सकता, यह समान रूप से त्वरित होती है।

कोणीय वेग

वृत्त पर एक बिंदु चुनें 1 . आइए एक दायरा बनाएं. समय की एक इकाई के लिए, बिंदु बिंदु पर चला जाएगा 2 . इस मामले में, त्रिज्या कोण का वर्णन करती है। कोणीय वेग संख्यात्मक रूप से प्रति इकाई समय त्रिज्या के घूर्णन कोण के बराबर है।

अवधि और आवृत्ति

परिभ्रमण काल टीवह समय है जो शरीर को एक चक्कर लगाने में लगता है।

RPM प्रति सेकंड क्रांतियों की संख्या है।

आवृत्ति और अवधि संबंध से संबंधित हैं

कोणीय वेग से संबंध

लाइन की गति

वृत्त पर प्रत्येक बिंदु कुछ गति से चलता है। इस गति को रैखिक कहा जाता है। रैखिक वेग वेक्टर की दिशा हमेशा वृत्त की स्पर्श रेखा से मेल खाती है।उदाहरण के लिए, ग्राइंडर के नीचे से चिंगारी तात्कालिक गति की दिशा को दोहराते हुए चलती है।

वृत्त पर एक बिंदु पर विचार करें जो एक चक्कर लगाता है, जो समय व्यतीत होता है - यही वह अवधि है टी. किसी बिंदु द्वारा तय किया गया पथ एक वृत्त की परिधि है।

केन्द्राभिमुख त्वरण

किसी वृत्त के अनुदिश चलते समय, त्वरण वेक्टर हमेशा वेग वेक्टर के लंबवत होता है, जो वृत्त के केंद्र की ओर निर्देशित होता है।

पिछले सूत्रों का उपयोग करके, हम निम्नलिखित संबंध प्राप्त कर सकते हैं

वृत्त के केंद्र से निकलने वाली एक ही सीधी रेखा पर स्थित बिंदुओं (उदाहरण के लिए, ये पहिये की सुई पर स्थित बिंदु हो सकते हैं) में समान कोणीय वेग, अवधि और आवृत्ति होगी। यानी, वे एक ही तरह से घूमेंगे, लेकिन अलग-अलग रैखिक गति के साथ। बिंदु केंद्र से जितना दूर होगा, वह उतनी ही तेजी से आगे बढ़ेगा।

वेगों के योग का नियम घूर्णी गति के लिए भी मान्य है। यदि किसी पिंड या संदर्भ तंत्र की गति एक समान नहीं है, तो कानून तात्कालिक वेगों पर लागू होता है। उदाहरण के लिए, घूमते हिंडोले के किनारे पर चलने वाले व्यक्ति की गति हिंडोले के किनारे के घूमने की रैखिक गति और व्यक्ति की गति के वेक्टर योग के बराबर होती है।

पृथ्वी दो मुख्य घूर्णी गतियों में भाग लेती है: दैनिक (अपनी धुरी के चारों ओर) और कक्षीय (सूर्य के चारों ओर)। सूर्य के चारों ओर पृथ्वी की परिक्रमा की अवधि 1 वर्ष या 365 दिन है। पृथ्वी अपनी धुरी पर पश्चिम से पूर्व की ओर घूमती है, इस घूर्णन की अवधि 1 दिन या 24 घंटे है। अक्षांश भूमध्य रेखा के तल और पृथ्वी के केंद्र से उसकी सतह पर एक बिंदु तक की दिशा के बीच का कोण है।

न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार किसी भी त्वरण का कारण कोई बल होता है। यदि कोई गतिमान पिंड अभिकेन्द्रीय त्वरण का अनुभव करता है, तो इस त्वरण का कारण बनने वाले बलों की प्रकृति भिन्न हो सकती है। उदाहरण के लिए, यदि कोई वस्तु रस्सी से बंधी हुई एक वृत्त में घूमती है, तो कार्य करने वाला बल लोचदार बल होता है।

यदि डिस्क पर पड़ा कोई पिंड अपनी धुरी के चारों ओर डिस्क के साथ घूमता है, तो ऐसा बल घर्षण बल है। यदि बल कार्य करना बंद कर दे तो वस्तु एक सीधी रेखा में चलती रहेगी

A से B तक वृत्त पर एक बिंदु की गति पर विचार करें। रैखिक वेग बराबर है वी एऔर वी बीक्रमश। त्वरण समय की प्रति इकाई गति में परिवर्तन है। आइए सदिशों का अंतर ज्ञात करें।

के बीच विभिन्न प्रकारवक्ररेखीय गति विशेष रुचि रखती है वृत्त में किसी पिंड की एकसमान गति. यह वक्ररेखीय गति का सबसे सरल रूप है। साथ ही, किसी पिंड के प्रक्षेपवक्र के पर्याप्त छोटे खंड में किसी भी जटिल वक्रीय गति को लगभग एक वृत्त के अनुदिश एकसमान गति माना जा सकता है।

ऐसी गति घूमने वाले पहियों, टरबाइन रोटार, कक्षाओं में घूमने वाले कृत्रिम उपग्रहों आदि के बिंदुओं द्वारा की जाती है। एकसमान गतिपरिधि के चारों ओर गति का संख्यात्मक मान स्थिर रहता है। हालाँकि, ऐसी गति के दौरान वेग की दिशा लगातार बदलती रहती है।

वक्रीय प्रक्षेपवक्र के किसी भी बिंदु पर शरीर की गति इस बिंदु पर प्रक्षेपवक्र के स्पर्शरेखीय रूप से निर्देशित होती है। इसे डिस्क के आकार के ग्रिंडस्टोन के काम को देखकर देखा जा सकता है: स्टील की छड़ के सिरे को घूमते हुए पत्थर पर दबाने पर, आप पत्थर से गर्म कणों को निकलते हुए देख सकते हैं। ये कण उसी गति से उड़ते हैं जो पत्थर से अलग होने के समय थी। चिंगारी की दिशा हमेशा उस बिंदु पर वृत्त की स्पर्श रेखा से मेल खाती है जहां छड़ी पत्थर को छूती है। फिसलती हुई कार के पहियों से निकलने वाली फुहारें भी स्पर्शरेखीय रूप से वृत्त की ओर बढ़ती हैं।

इस प्रकार, वक्रीय प्रक्षेपवक्र के विभिन्न बिंदुओं पर शरीर के तात्कालिक वेग की अलग-अलग दिशाएँ होती हैं, जबकि वेग का मापांक या तो हर जगह समान हो सकता है या एक बिंदु से दूसरे बिंदु पर बदल सकता है। लेकिन यदि गति का मापांक नहीं बदलता है, तब भी इसे स्थिर नहीं माना जा सकता है। आख़िरकार, गति एक सदिश राशि है, और सदिश राशियों के लिए, मापांक और दिशा समान रूप से महत्वपूर्ण हैं। इसीलिए वक्ररेखीय गति सदैव त्वरित होती है, भले ही गति का मापांक स्थिर हो।

वक्रीय गति गति मापांक और उसकी दिशा को बदल सकती है। वक्ररेखीय गति, जिसमें गति का मापांक स्थिर रहता है, कहलाती है एकसमान वक्ररेखीय गति. ऐसे आंदोलन के दौरान त्वरण केवल वेग वेक्टर की दिशा में बदलाव के साथ जुड़ा हुआ है।

मापांक और त्वरण की दिशा दोनों को घुमावदार प्रक्षेपवक्र के आकार पर निर्भर होना चाहिए। हालाँकि, इसके प्रत्येक असंख्य रूप पर विचार करना आवश्यक नहीं है। प्रत्येक खंड को एक निश्चित त्रिज्या के साथ एक अलग वृत्त के रूप में प्रस्तुत करते हुए, एक वक्ररेखीय एकसमान गति में त्वरण खोजने की समस्या एक वृत्त के साथ समान रूप से घूम रहे शरीर में त्वरण खोजने तक कम हो जाएगी।

एक वृत्त में एक समान गति की विशेषता परिसंचरण की अवधि और आवृत्ति होती है।

किसी पिंड को एक चक्कर लगाने में लगने वाले समय को कहा जाता है संचलन अवधि.

एक वृत्त में एक समान गति के साथ, परिक्रमण की अवधि तय की गई दूरी, अर्थात वृत्त की परिधि को गति की गति से विभाजित करके निर्धारित की जाती है:

किसी आवर्त का व्युत्क्रम कहलाता है परिसंचरण आवृत्ति, पत्र द्वारा दर्शाया गया है ν . प्रति इकाई समय क्रांतियों की संख्या ν बुलाया परिसंचरण आवृत्ति:

गति की दिशा में निरंतर परिवर्तन के कारण, एक वृत्त में घूम रहे किसी पिंड में एक त्वरण होता है जो उसकी दिशा में परिवर्तन की गति को दर्शाता है, गति का संख्यात्मक मान इस मामले मेंबदलना मत।

एक वृत्त के अनुदिश किसी पिंड की एक समान गति के साथ, इसमें किसी भी बिंदु पर त्वरण हमेशा वृत्त की त्रिज्या के साथ उसके केंद्र तक गति की गति के लंबवत निर्देशित होता है और इसे कहा जाता है केन्द्राभिमुख त्वरण.

इसका मान ज्ञात करने के लिए, वेग वेक्टर में परिवर्तन और उस समय अंतराल के अनुपात पर विचार करें जिसके दौरान यह परिवर्तन हुआ। चूँकि कोण बहुत छोटा है, हमारे पास है

एकसमान वृत्तीय गतिसबसे सरल उदाहरण है. उदाहरण के लिए, घड़ी की सुई का सिरा वृत्त के डायल के साथ घूमता है। वृत्त में किसी पिंड की गति कहलाती है लाइन की गति.

एक वृत्त के अनुदिश पिंड की एकसमान गति के साथ, पिंड के वेग का मापांक समय के साथ नहीं बदलता है, अर्थात, v = const, लेकिन इस मामले में केवल वेग वेक्टर की दिशा बदलती है (ar = 0), और दिशा में वेग वेक्टर में परिवर्तन को एक मान द्वारा दर्शाया जाता है जिसे कहा जाता है केन्द्राभिमुख त्वरण() एक एन या एक सीए. प्रत्येक बिंदु पर, अभिकेंद्रीय त्वरण वेक्टर त्रिज्या के साथ वृत्त के केंद्र की ओर निर्देशित होता है।

अभिकेन्द्रीय त्वरण का मापांक बराबर होता है

ए सीएस = वी 2 / आर

जहाँ v रैखिक गति है, R वृत्त की त्रिज्या है

चावल। 1.22. शरीर का एक वृत्त में घूमना।

वृत्त में किसी पिंड की गति का वर्णन करते समय, इसका प्रयोग करें त्रिज्या मोड़ कोणवह कोण φ है जिसके द्वारा वृत्त के केंद्र से उस बिंदु तक खींची गई त्रिज्या जहां उस समय गतिमान पिंड है, समय t में घूमती है। घूर्णन कोण को रेडियन में मापा जाता है। वृत्त की दो त्रिज्याओं के बीच के कोण के बराबर, जिनके बीच चाप की लंबाई वृत्त की त्रिज्या के बराबर होती है (चित्र 1.23)। अर्थात्, यदि l = R, तो

1 रेडियन= एल/आर

क्योंकि परिधिके बराबर है

एल = 2πR

360 ओ = 2πआर/आर = 2π रेड।

इस तरह

1 रेड. = 57.2958 लगभग = 57 लगभग 18'

कोणीय वेगएक वृत्त में पिंड की एकसमान गति का मान ω है, जो त्रिज्या φ के घूर्णन कोण और उस समय अंतराल के अनुपात के बराबर है जिसके दौरान यह घूर्णन किया जाता है:

ω = φ / टी

कोणीय वेग मापने की इकाई रेडियन प्रति सेकंड [रेड/एस] है। रैखिक वेग मापांक तय की गई दूरी l और समय अंतराल t के अनुपात से निर्धारित होता है:

वी= एल / टी

लाइन की गतिएक वृत्त के अनुदिश एकसमान गति के साथ, यह वृत्त पर दिए गए बिंदु पर स्पर्शरेखीय रूप से निर्देशित होता है। जब बिंदु गति करता है, तो बिंदु द्वारा तय किए गए वृत्ताकार चाप की लंबाई l, अभिव्यक्ति द्वारा घूर्णन के कोण φ से संबंधित होती है

एल = आरφ

जहाँ R वृत्त की त्रिज्या है।

फिर, बिंदु की एकसमान गति के मामले में, रैखिक और कोणीय वेग संबंध से संबंधित होते हैं:

v = l / t = Rφ / t = Rω या v = Rω

चावल। 1.23. रेडियन.

संचलन की अवधि- यह समय T की अवधि है, जिसके दौरान पिंड (बिंदु) परिधि के चारों ओर एक चक्कर लगाता है। परिसंचरण की आवृत्ति- यह परिसंचरण अवधि का व्युत्क्रम है - प्रति इकाई समय (प्रति सेकंड) क्रांतियों की संख्या। परिसंचरण की आवृत्ति को अक्षर n द्वारा दर्शाया जाता है।

एन=1/टी

एक अवधि के लिए, बिंदु के घूर्णन का कोण φ 2π रेड है, इसलिए 2π = ωT, जहां से

टी = 2π / ω

वह है कोणीय वेगके बराबर है

ω = 2π / टी = 2πn

केन्द्राभिमुख त्वरणअवधि T और क्रांति की आवृत्ति n के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है:

ए सीएस = (4π 2 आर) / टी 2 = 4π 2 आरएन 2

एक स्थिर मापांक गति के साथ एक वृत्त में किसी पिंड की गति- यह एक ऐसी गति है जिसमें शरीर किसी भी समान समय अंतराल के लिए समान चाप का वर्णन करता है।

वृत्त पर पिंड की स्थिति निर्धारित की जाती है त्रिज्या सदिश\(~\vec r\) वृत्त के केंद्र से खींचा गया है। त्रिज्या सदिश का मापांक वृत्त की त्रिज्या के बराबर होता है आर(चित्र .1)।

समय के दौरान Δ टीशरीर एक बिंदु से गति कर रहा है एबिल्कुल में, \(~\Delta \vec r\) को जीवा के बराबर ले जाता है अब, और चाप की लंबाई के बराबर पथ यात्रा करता है एल.

त्रिज्या वेक्टर को कोण Δ द्वारा घुमाया जाता है φ . कोण को रेडियन में व्यक्त किया जाता है।

प्रक्षेप पथ (वृत्त) के साथ शरीर की गति की गति \(~\vec \upsilon\) प्रक्षेप पथ के स्पर्शरेखा के अनुदिश निर्देशित होती है। यह कहा जाता है रैखिक गति. रैखिक वेग मापांक वृत्ताकार चाप की लंबाई के अनुपात के बराबर है एलसमय अंतराल के लिए Δ टीजिसके लिए यह आर्क पारित किया गया है:

\(~\upsilon = \frac(l)(\Delta t).\)

एक अदिश भौतिक राशि, जो संख्यात्मक रूप से त्रिज्या वेक्टर के घूर्णन कोण और उस समय अंतराल के अनुपात के बराबर होती है, जिसके दौरान यह घूर्णन हुआ था, कहलाती है कोणीय वेग:

\(~\omega = \frac(\Delta \varphi)(\Delta t).\)

कोणीय वेग की एसआई इकाई रेडियन प्रति सेकंड (रेड/एस) है।

एक वृत्त में एकसमान गति के साथ, कोणीय वेग और रैखिक वेग मापांक स्थिर मान हैं: ω = स्थिरांक; υ = स्थिरांक.

पिंड की स्थिति निर्धारित की जा सकती है यदि त्रिज्या वेक्टर \(~\vec r\) और कोण का मापांक φ , जिसे यह अक्ष के साथ बनाता है बैल(कोणीय निर्देशांक). अगर शुरुआती समय में टी 0 = 0 कोणीय निर्देशांक है φ 0 , और समय पर टीयह के बराबर है φ , फिर घूर्णन कोण Δ φ समय में त्रिज्या-वेक्टर \(~\Delta t = t - t_0 = t\) \(~\Delta \varphi = \varphi - \varphi_0\) के बराबर है। फिर अंतिम सूत्र से हम प्राप्त कर सकते हैं एक वृत्त के अनुदिश किसी भौतिक बिंदु की गति का गतिज समीकरण:

\(~\varphi = \varphi_0 + \omega t.\)

यह आपको किसी भी समय शरीर की स्थिति निर्धारित करने की अनुमति देता है। टी. यह मानते हुए कि \(~\Delta \varphi = \frac(l)(R)\), हमें मिलता है\[~\omega = \frac(l)(R \Delta t) = \frac(\upsilon)(R) \दाहिना तीर\]

\(~\upsilon = \omega R\) - रैखिक और कोणीय वेग के बीच संबंध का सूत्र।

समय अंतराल Τ , जिसके दौरान शरीर एक पूर्ण क्रांति करता है, कहलाता है घूर्णन अवधि:

\(~T = \frac(\Delta t)(N),\)

कहाँ एन- समय के दौरान शरीर द्वारा किए गए चक्करों की संख्या टी.

समय के दौरान Δ टी = Τ शरीर \(~l = 2 \pi R\) पथ को पार करता है। इस तरह,

\(~\upsilon = \frac(2 \pi R)(T); \ \omega = \frac(2 \pi)(T) .\)

कीमत ν , अवधि का व्युत्क्रम, यह दर्शाता है कि समय की प्रति इकाई शरीर कितने चक्कर लगाता है, कहलाता है रफ़्तार:

\(~\nu = \frac(1)(T) = \frac(N)(\Delta t).\)

इस तरह,

\(~\upsilon = 2 \pi \nu R; \ \omega = 2 \pi \nu .\)

साहित्य

अक्सेनोविच एल. ए. हाई स्कूल में भौतिकी: सिद्धांत। कार्य. टेस्ट: प्रोक. सामान्य प्रदान करने वाली संस्थाओं के लिए भत्ता। पर्यावरण, शिक्षा / एल. ए. अक्सेनोविच, एन. एन. राकिना, के. एस. फ़ारिनो; ईडी। के.एस. फ़ारिनो. - एमएन.: अदुकात्सिया आई विखावन्ने, 2004. - सी. 18-19।