एक झुके हुए तल के साथ शरीर का ऊपर की ओर बढ़ना। इच्छुक विमान। प्रयोगशाला व्यवस्था का विवरण

वी. एम. ज़राज़ेव्स्की

प्रयोगशाला कार्य नं.

एक झुके हुए तल से एक ठोस शरीर को लुढ़काना

कार्य का लक्ष्य:जब कोई कठोर पिंड झुके हुए तल पर लुढ़कता है तो यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण के नियम का सत्यापन।

उपकरण:झुका हुआ विमान, इलेक्ट्रॉनिक स्टॉपवॉच, विभिन्न द्रव्यमान के सिलेंडर।

सैद्धांतिक जानकारी

माना कि बेलन की त्रिज्या है आरऔर द्रव्यमान एमक्षितिज के साथ एक कोण α बनाते हुए एक झुके हुए तल पर लुढ़कता है (चित्र 1)। सिलेंडर पर तीन बल कार्य करते हैं: गुरुत्वाकर्षण पी = एमजी, सिलेंडर पर विमान के सामान्य दबाव का बल एनऔर समतल पर सिलेंडर का घर्षण बल एफट्र. , इस विमान में लेटा हुआ।

सिलेंडर दो प्रकार की गति में एक साथ भाग लेता है: द्रव्यमान O के केंद्र की अनुवादात्मक गति और द्रव्यमान के केंद्र से गुजरने वाली धुरी के सापेक्ष घूर्णी गति।

चूँकि गति के दौरान सिलेंडर समतल पर रहता है, इसलिए झुके हुए तल के अभिलंब की दिशा में द्रव्यमान के केंद्र का त्वरण शून्य होता है, इसलिए

पी∙cosα − एन = 0. (1)

एक झुके हुए विमान के साथ अनुवादीय गति की गतिशीलता का समीकरण घर्षण बल द्वारा निर्धारित किया जाता है एफट्र. और झुके हुए तल के साथ गुरुत्वाकर्षण घटक एमजी∙sinα:

एमए = एमजी∙sinα − एफट्र. , (2)

कहाँ ए- एक झुके हुए तल के अनुदिश सिलेंडर के गुरुत्वाकर्षण केंद्र का त्वरण।

द्रव्यमान के केंद्र से गुजरने वाली धुरी के सापेक्ष घूर्णी गति की गतिशीलता के समीकरण का रूप है

मैंε = एफट्र. आर, (3)

कहाँ मैं– जड़त्व आघूर्ण, ε – कोणीय त्वरण. गुरुत्वाकर्षण का क्षण और इस अक्ष के सापेक्ष शून्य है.

समीकरण (2) और (3) हमेशा मान्य होते हैं, भले ही सिलेंडर फिसलने के साथ या बिना फिसलने के साथ विमान के साथ चलता है। लेकिन इन समीकरणों से तीन अज्ञात मात्राएँ निर्धारित करना असंभव है: एफट्र. , एऔर ε, एक और अतिरिक्त शर्त आवश्यक है।

यदि घर्षण बल पर्याप्त रूप से बड़ा है, तो सिलेंडर बिना फिसले झुके हुए पथ पर लुढ़कता है। फिर सिलेंडर की परिधि पर बिंदुओं को सिलेंडर के द्रव्यमान के केंद्र के समान पथ लंबाई की यात्रा करनी चाहिए। इस मामले में, रैखिक त्वरण एऔर कोणीय त्वरण ε संबंध से संबंधित हैं

ए = आरε. (4)

समीकरण (4) से ε = ए/आर. (3) में प्रतिस्थापन के बाद हमें प्राप्त होता है

. (5)

(2) में प्रतिस्थापित करना एफट्र. (5) पर, हमें मिलता है

. (6)

अंतिम संबंध से हम रैखिक त्वरण निर्धारित करते हैं

. (7)

समीकरण (5) और (7) से घर्षण बल की गणना की जा सकती है:

. (8)

घर्षण बल झुकाव के कोण α, गुरुत्वाकर्षण पर निर्भर करता है पी = एमजीऔर रवैये से मैं/श्री 2. बिना घर्षण के रोलिंग नहीं होगी.

बिना फिसले लुढ़कते समय स्थैतिक घर्षण बल एक भूमिका निभाता है। स्थैतिक घर्षण बल की तरह रोलिंग घर्षण बल का अधिकतम मान μ के बराबर होता है एन. तब बिना फिसलन के लुढ़कने की शर्तें पूरी हो जाएंगी यदि

एफट्र. ≤ μ एन. (9)

(1) और (8) को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं

, (10)

या, अंततः

. (11)

सामान्य स्थिति में, द्रव्यमान के केंद्र से गुजरने वाली धुरी के बारे में क्रांति के सजातीय सममित निकायों की जड़ता का क्षण इस प्रकार लिखा जा सकता है

मैं = किमी.आर 2 , (12)

कहाँ क= एक ठोस सिलेंडर (डिस्क) के लिए 0.5; क= 1 खोखली पतली दीवार वाले सिलेंडर (घेरा) के लिए; क= एक ठोस गेंद के लिए 0.4.

(12) को (11) में प्रतिस्थापित करने के बाद, हम एक कठोर पिंड के लिए एक झुके हुए विमान से बिना फिसले लुढ़कने के लिए अंतिम मानदंड प्राप्त करते हैं:

. (13)

चूँकि जब कोई ठोस वस्तु किसी ठोस सतह पर लुढ़कती है, तो रोलिंग घर्षण बल छोटा होता है, रोलिंग वस्तु की कुल यांत्रिक ऊर्जा स्थिर होती है। समय के प्रारंभिक क्षण में, जब पिंड ऊंचाई पर झुके हुए तल के शीर्ष बिंदु पर होता है एच, इसकी कुल यांत्रिक ऊर्जा क्षमता के बराबर है:

डब्ल्यूएन = एमजीएच = एमजीएस∙sinα, (14)

कहाँ एस- द्रव्यमान के केंद्र द्वारा तय किया गया पथ।

एक लुढ़कते पिंड की गतिज ऊर्जा में गति के साथ द्रव्यमान के केंद्र की स्थानान्तरणीय गति की गतिज ऊर्जा शामिल होती है υ और द्रव्यमान के केंद्र से गुजरने वाली धुरी के सापेक्ष गति ω के साथ घूर्णी गति:

. (15)

बिना फिसले लुढ़कते समय, रैखिक और कोणीय वेग संबंध से संबंधित होते हैं

υ = आरω. (16)

आइए हम गतिज ऊर्जा (15) के लिए अभिव्यक्ति को इसमें (16) और (12) प्रतिस्थापित करके रूपांतरित करें:

झुके हुए तल पर गति समान रूप से त्वरित होती है:

. (18)

आइए हम (18) को (4) को ध्यान में रखते हुए रूपांतरित करें:

. (19)

(17) और (19) को एक साथ हल करने पर, हम एक झुके हुए तल पर घूम रहे पिंड की गतिज ऊर्जा के लिए अंतिम अभिव्यक्ति प्राप्त करते हैं:

. (20)

स्थापना और माप विधि का विवरण

आप "प्लेन" यूनिट और इलेक्ट्रॉनिक स्टॉपवॉच SE1 का उपयोग करके एक झुके हुए विमान पर किसी पिंड के घूमने का अध्ययन कर सकते हैं, जो मॉड्यूलर शैक्षिक परिसर MUK-M2 का हिस्सा हैं।

यू
इंस्टॉलेशन एक झुका हुआ विमान 1 है, जिसे स्क्रू 2 (छवि 2) का उपयोग करके क्षितिज के विभिन्न कोणों α पर स्थापित किया जा सकता है। कोण α को स्केल 3 का उपयोग करके मापा जाता है। द्रव्यमान वाला एक सिलेंडर 4 एम. अलग-अलग वजन के दो रोलर्स का उपयोग प्रदान किया जाता है। रोलर्स को एक इलेक्ट्रोमैग्नेट 5 का उपयोग करके झुके हुए विमान के शीर्ष बिंदु पर तय किया जाता है, जिसे उपयोग करके नियंत्रित किया जाता है

इलेक्ट्रॉनिक स्टॉपवॉच SE1. सिलेंडर द्वारा तय की गई दूरी को समतल के साथ लगे रूलर 6 द्वारा मापा जाता है। सिलेंडर के रोलिंग समय को सेंसर 7 का उपयोग करके स्वचालित रूप से मापा जाता है, जो रोलर के फिनिशिंग बिंदु को छूने पर स्टॉपवॉच को बंद कर देता है।

कार्य - आदेश

1. स्क्रू 2 को ढीला करें (चित्र 2), विमान को क्षैतिज से एक निश्चित कोण α पर सेट करें। रोलर 4 को एक झुके हुए तल पर रखें।

2. यांत्रिक इकाई के विद्युत चुम्बकों को नियंत्रित करने के लिए टॉगल स्विच को "सपाट" स्थिति में स्विच करें।

3. स्टॉपवॉच SE1 को मोड 1 पर सेट करें।

4. स्टॉपवॉच का स्टार्ट बटन दबाएँ। रोलिंग समय को मापें.

5. प्रयोग को पाँच बार दोहराएँ। माप परिणामों को तालिका में रिकॉर्ड करें। 1.

6. रोलिंग से पहले और बाद में यांत्रिक ऊर्जा के मूल्य की गणना करें। एक निष्कर्ष निकालो।

7. अन्य समतल झुकाव कोणों के लिए चरण 1-6 दोहराएँ।

तालिका नंबर एक

8. दूसरे वीडियो के लिए चरण 1-7 दोहराएं। परिणामों को तालिका में रिकार्ड करें। 2, तालिका के समान। 1.

9. कार्य के सभी परिणामों के आधार पर निष्कर्ष निकालें।

प्रश्नों पर नियंत्रण रखें

1. यांत्रिकी में बलों के प्रकारों का नाम बताइए।

2. घर्षण बलों की भौतिक प्रकृति की व्याख्या करें।

3. घर्षण का गुणांक क्या है? इसका आकार?

4. कौन से कारक स्थैतिक, स्लाइडिंग और रोलिंग घर्षण के गुणांक को प्रभावित करते हैं?

5. लुढ़कने के दौरान किसी कठोर पिंड की गति की सामान्य प्रकृति का वर्णन करें।

6. झुके हुए तल पर लुढ़कने पर घर्षण आघूर्ण की दिशा क्या होती है?

7. जब एक सिलेंडर (गेंद) एक झुके हुए विमान के साथ लुढ़कता है तो गतिशीलता के समीकरणों की एक प्रणाली लिखें।

8. सूत्र (13) व्युत्पन्न करें।

9. सूत्र (20) व्युत्पन्न करें।

10. समान द्रव्यमान वाला गोला और बेलन एमऔर समान त्रिज्या आरएक साथ एक झुके हुए तल पर ऊंचाई से नीचे की ओर फिसलना शुरू करें एच. क्या वे एक साथ निचले बिंदु तक पहुंचेंगे ( एच = 0)?

11. किसी लुढ़कती हुई वस्तु के ब्रेक लगने का कारण स्पष्ट कीजिए।

ग्रन्थसूची

1. सेवलीव, आई.वी. 3 खंडों में सामान्य भौतिकी का पाठ्यक्रम। टी. 1 / आई.वी. सेवलीव। - एम.: नौका, 1989. - § 41-43.

2. खैकिन, एस.ई. यांत्रिकी की भौतिक नींव / एस.ई. खैकिन। - एम: नौका, 1971. - § 97.

3. ट्रोफिमोवा टी. आई. भौतिकी पाठ्यक्रम / टी. आई. ट्रोफिमोवा। – एम: उच्चतर. स्कूल, 1990. - § 16-19.

पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वाकर्षण (गुरुत्वाकर्षण) स्थिर है और गिरते हुए पिंड के द्रव्यमान और गुरुत्वाकर्षण के त्वरण के गुणनफल के बराबर है: एफ जी = मिलीग्राम

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि मुक्त गिरावट का त्वरण एक स्थिर मान है: g=9.8 m/s 2, और पृथ्वी के केंद्र की ओर निर्देशित है। इसके आधार पर हम कह सकते हैं कि अलग-अलग द्रव्यमान वाले पिंड समान गति से पृथ्वी पर गिरेंगे। ऐसा कैसे? यदि आप रूई का एक टुकड़ा और एक ईंट एक ही ऊंचाई से फेंकते हैं, तो ईंट तेजी से जमीन पर आ जाएगी। वायु प्रतिरोध के बारे में मत भूलना! रूई के लिए यह महत्वपूर्ण होगा, क्योंकि इसका घनत्व बहुत कम है। वायुहीन स्थान में ईंट और ऊन एक साथ गिरेंगे।

गेंद 10 मीटर लम्बे झुके हुए समतल पर चलती है, समतल का झुकाव कोण 30° है। विमान के अंत में गेंद की गति क्या होगी?

गेंद केवल गुरुत्वाकर्षण बल Fg से प्रभावित होती है, जो विमान के आधार से नीचे की ओर लंबवत निर्देशित होती है। इस बल (विमान की सतह के साथ निर्देशित घटक) के प्रभाव में, गेंद गति करेगी। झुके हुए तल पर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण का घटक क्या होगा?

घटक को निर्धारित करने के लिए, बल वेक्टर एफ जी और झुके हुए विमान के बीच के कोण को जानना आवश्यक है।

कोण निर्धारित करना काफी सरल है:

• किसी भी त्रिभुज के कोणों का योग 180° होता है;
• बल वेक्टर F g और झुके हुए विमान के आधार के बीच का कोण 90° है;
• झुके हुए तल और उसके आधार के बीच का कोण α है

उपरोक्त के आधार पर, वांछित कोण बराबर होगा: 180° - 90° - α = 90° - α

त्रिकोणमिति से:

F g ढलान = F g cos(90°-α)

सिनα = cos(90°-α)

एफ जी ढलान = एफ जी पापα

यह वास्तव में इस प्रकार है:

• α=90° (ऊर्ध्वाधर तल) पर F g झुकाव = F g
• α=0° (क्षैतिज तल) पर F g झुकाव = 0

आइए प्रसिद्ध सूत्र से गेंद का त्वरण निर्धारित करें:

एफ जी पापα = एम ए

ए = एफ जी पापα/एम

ए = एम जी पापα/एम = जी पापα

एक झुके हुए विमान पर गेंद का त्वरण गेंद के द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करता है, बल्कि केवल विमान के झुकाव के कोण पर निर्भर करता है।

विमान के अंत में गेंद की गति निर्धारित करें:

वी 1 2 - वी 0 2 = 2 ए एस

(वि0 =0) - गेंद अपनी जगह से हिलने लगती है

वी 1 2 = √2·ए·एस

वी = 2 ग्राम पापα एस = √2 9.8 0.5 10 = √98 = 10 मी/से

सूत्र पर ध्यान दें! झुके हुए तल के अंत में पिंड की गति केवल तल के झुकाव के कोण और उसकी लंबाई पर निर्भर करेगी।

हमारे मामले में, एक बिलियर्ड बॉल, एक यात्री कार, एक डंप ट्रक और स्लेज पर एक स्कूली लड़के की विमान के अंत में 10 मीटर/सेकेंड की गति होगी। निःसंदेह, हम घर्षण को ध्यान में नहीं रखते हैं।

वह शरीर एक झुके हुए तल पर नीचे की ओर खिसकता है. इस मामले में, निम्नलिखित बल इस पर कार्य करते हैं:

गुरुत्वाकर्षण एमजी लंबवत नीचे की ओर निर्देशित;

समर्थन प्रतिक्रिया बल एन, विमान के लंबवत निर्देशित;

फिसलने वाला घर्षण बल Ftr गति के विपरीत निर्देशित होता है (जब शरीर फिसलता है तो झुके हुए तल के साथ ऊपर की ओर)।

आइए हम एक झुकी हुई समन्वय प्रणाली का परिचय दें, जिसका OX अक्ष समतल के साथ नीचे की ओर निर्देशित है। यह सुविधाजनक है, क्योंकि इस मामले में आपको केवल एक वेक्टर को घटकों में विघटित करना होगा - गुरुत्वाकर्षण वेक्टर एमजी, और घर्षण बल एफटीआर और समर्थन प्रतिक्रिया बल एन के वैक्टर पहले से ही अक्षों के साथ निर्देशित हैं। इस विस्तार के साथ, गुरुत्वाकर्षण बल का x-घटक mg syn(α) के बराबर है और त्वरित नीचे की ओर गति के लिए जिम्मेदार "खींचने वाले बल" से मेल खाता है, और y-घटक - mg cos(α) = N को संतुलित करता है प्रतिक्रिया बल का समर्थन करें, क्योंकि शरीर अनुपस्थित ओए अक्ष के साथ चलता है।

फिसलने वाला घर्षण बल Ftr = µN समर्थन प्रतिक्रिया बल के समानुपाती होता है। यह हमें घर्षण बल के लिए निम्नलिखित अभिव्यक्ति प्राप्त करने की अनुमति देता है: Ftr = µmg cos(α)। यह बल गुरुत्वाकर्षण के "खींचने" वाले घटक के विपरीत है। इसलिए, नीचे फिसलने वाले किसी पिंड के लिए, हम कुल परिणामी बल और त्वरण के लिए अभिव्यक्ति प्राप्त करते हैं:

Fx = mg(sin(α) – µ cos(α));

ax = g(sin(α) – µ cos(α)).

त्वरण:

गति है

v=ax*t=t*g(sin(α) – µ cos(α))

t=0.2 s के बाद

गति है

v=0.2*9.8(sin(45)-0.4*cos(45))=0.83 m/s

वह बल जिसके द्वारा कोई पिंड पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र के प्रभाव में पृथ्वी की ओर आकर्षित होता है, गुरुत्वाकर्षण कहलाता है। सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार, पृथ्वी की सतह पर (या इस सतह के निकट), m द्रव्यमान के एक पिंड पर गुरुत्वाकर्षण बल कार्य करता है।

फीट=जीएमएम/आर2 (2.28)

जहाँ M पृथ्वी का द्रव्यमान है; R पृथ्वी की त्रिज्या है।

यदि किसी पिंड पर केवल गुरुत्वाकर्षण बल कार्य करता है, और अन्य सभी बल परस्पर संतुलित हैं, तो पिंड मुक्त रूप से गिरता है। न्यूटन के दूसरे नियम और सूत्र (2.28) के अनुसार, गुरुत्वाकर्षण त्वरण मॉड्यूल जी सूत्र द्वारा पाया जाता है

g=Ft/m=GM/R2. (2.29)

सूत्र (2.29) से यह निष्कर्ष निकलता है कि मुक्त गिरावट का त्वरण गिरते हुए पिंड के द्रव्यमान m पर निर्भर नहीं करता है, अर्थात। पृथ्वी पर किसी स्थान पर मौजूद सभी पिंडों के लिए यह समान है। सूत्र (2.29) से यह इस प्रकार है कि Ft = mg. वेक्टर रूप में

§ 5 में यह नोट किया गया था कि चूँकि पृथ्वी एक गोला नहीं है, बल्कि परिक्रमण का एक दीर्घवृत्ताकार है, इसलिए इसका ध्रुवीय त्रिज्या भूमध्यरेखीय से कम है। सूत्र (2.28) से यह स्पष्ट है कि इस कारण से ध्रुव पर गुरुत्वाकर्षण बल और उसके कारण उत्पन्न गुरुत्वाकर्षण का त्वरण भूमध्य रेखा की तुलना में अधिक है।

गुरुत्वाकर्षण बल पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में स्थित सभी पिंडों पर कार्य करता है, लेकिन सभी पिंड पृथ्वी पर नहीं गिरते हैं। यह इस तथ्य से समझाया गया है कि कई निकायों की गति अन्य निकायों द्वारा बाधित होती है, उदाहरण के लिए समर्थन, निलंबन धागे, आदि। जो निकाय अन्य निकायों की गति को सीमित करते हैं उन्हें कनेक्शन कहा जाता है। गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में, बंधन विकृत हो जाते हैं और विकृत कनेक्शन की प्रतिक्रिया शक्ति, न्यूटन के तीसरे नियम के अनुसार, गुरुत्वाकर्षण बल को संतुलित करती है।

§ 5 में यह भी नोट किया गया कि मुक्त गिरावट का त्वरण पृथ्वी के घूर्णन से प्रभावित होता है। इस प्रभाव को इस प्रकार समझाया गया है। पृथ्वी की सतह से जुड़ी संदर्भ प्रणालियाँ (पृथ्वी के ध्रुवों से जुड़ी दो को छोड़कर), सख्ती से कहें तो, जड़त्वीय संदर्भ प्रणालियाँ नहीं हैं - पृथ्वी अपनी धुरी के चारों ओर घूमती है, और इसके साथ ही ऐसी संदर्भ प्रणालियाँ सेंट्रिपेटल त्वरण के साथ वृत्तों में घूमती हैं। संदर्भ प्रणालियों की यह गैर-जड़त्वता, विशेष रूप से, इस तथ्य में प्रकट होती है कि गुरुत्वाकर्षण के त्वरण का मान पृथ्वी पर विभिन्न स्थानों में भिन्न होता है और उस स्थान के भौगोलिक अक्षांश पर निर्भर करता है जहां संदर्भ प्रणाली जुड़ी हुई है पृथ्वी स्थित है, जिसके सापेक्ष गुरुत्वाकर्षण का त्वरण निर्धारित होता है।

विभिन्न अक्षांशों पर किए गए मापों से पता चला कि गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण के संख्यात्मक मान एक दूसरे से बहुत कम भिन्न होते हैं। इसलिए, बहुत सटीक गणना नहीं होने पर, हम पृथ्वी की सतह से जुड़े संदर्भ प्रणालियों की गैर-जड़त्वता, साथ ही गोलाकार से पृथ्वी के आकार में अंतर की उपेक्षा कर सकते हैं, और मान सकते हैं कि पृथ्वी पर कहीं भी गुरुत्वाकर्षण का त्वरण होता है समान है और 9.8 m/s2 के बराबर है।

सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम से यह निष्कर्ष निकलता है कि पृथ्वी से बढ़ती दूरी के साथ गुरुत्वाकर्षण बल और उसके कारण होने वाला गुरुत्वाकर्षण त्वरण कम हो जाता है। पृथ्वी की सतह से ऊँचाई h पर, गुरुत्वाकर्षण त्वरण मापांक सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

यह स्थापित किया गया है कि पृथ्वी की सतह से 300 किमी की ऊँचाई पर, गुरुत्वाकर्षण का त्वरण पृथ्वी की सतह की तुलना में 1 m/s2 कम है।

नतीजतन, पृथ्वी के निकट (कई किलोमीटर की ऊंचाई तक) गुरुत्वाकर्षण बल व्यावहारिक रूप से नहीं बदलता है, और इसलिए पृथ्वी के निकट पिंडों का मुक्त रूप से गिरना एक समान रूप से त्वरित गति है।

शरीर का वजन। भारहीनता और अधिभार

वह बल जिसमें पृथ्वी के प्रति आकर्षण के कारण कोई पिंड उसके सहारे या लटके हुए स्थान पर कार्य करता है, पिंड का भार कहलाता है। गुरुत्वाकर्षण के विपरीत, जो किसी पिंड पर लगाया जाने वाला एक गुरुत्वाकर्षण बल है, वजन एक समर्थन या निलंबन (यानी, एक लिंक) पर लगाया जाने वाला एक लोचदार बल है।

अवलोकनों से पता चलता है कि किसी पिंड P का वजन, स्प्रिंग स्केल पर निर्धारित, शरीर पर लगने वाले गुरुत्वाकर्षण बल Ft के बराबर होता है, केवल तभी जब पृथ्वी के सापेक्ष शरीर के तराजू आराम की स्थिति में हों या समान रूप से और सीधी रेखा में घूम रहे हों; इस मामले में

यदि कोई पिंड त्वरित गति से चलता है, तो उसका वजन इस त्वरण के मान और गुरुत्वाकर्षण के त्वरण की दिशा के सापेक्ष उसकी दिशा पर निर्भर करता है।

जब किसी पिंड को स्प्रिंग स्केल पर लटकाया जाता है, तो दो बल उस पर कार्य करते हैं: गुरुत्वाकर्षण बल Ft=mg और स्प्रिंग का लोचदार बल Fyp। यदि इस मामले में शरीर गुरुत्वाकर्षण के त्वरण की दिशा के सापेक्ष लंबवत ऊपर या नीचे चलता है, तो बलों Ft और Fup का वेक्टर योग एक परिणाम देता है, जिससे शरीर में त्वरण होता है, अर्थात।

Fт + Fуп=ma.

"वजन" की अवधारणा की उपरोक्त परिभाषा के अनुसार, हम लिख सकते हैं कि P = -Fyп. इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि Ft=mg, यह इस प्रकार है कि mg-ma=-Fyп। इसलिए, P=m(g-a).

Fт और Fуп बल एक ऊर्ध्वाधर सीधी रेखा के अनुदिश निर्देशित होते हैं। इसलिए, यदि शरीर का त्वरण नीचे की ओर निर्देशित है (यानी, यह मुक्त गिरावट जी के त्वरण के साथ दिशा में मेल खाता है), तो मापांक में

यदि शरीर का त्वरण ऊपर की ओर निर्देशित है (अर्थात, मुक्त गिरावट के त्वरण की दिशा के विपरीत), तो

पी = एम = एम(जी+ए)।

नतीजतन, उस पिंड का वजन जिसका त्वरण मुक्त गिरावट के त्वरण की दिशा के साथ मेल खाता है, आराम कर रहे शरीर के वजन से कम है, और उस शरीर का वजन जिसका त्वरण मुक्त गिरावट के त्वरण की दिशा के विपरीत है, अधिक है आराम की स्थिति में शरीर के वजन से अधिक. इसकी त्वरित गति के कारण शरीर के वजन में होने वाली वृद्धि को अधिभार कहा जाता है।

मुक्त फ़ॉल में a=g. इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि इस मामले में P = 0, यानी कोई भार नहीं है। इसलिए, यदि पिंड केवल गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में चलते हैं (अर्थात स्वतंत्र रूप से गिरते हैं), तो वे भारहीनता की स्थिति में होते हैं। इस अवस्था की एक विशिष्ट विशेषता स्वतंत्र रूप से गिरने वाले पिंडों में विकृतियों और आंतरिक तनावों की अनुपस्थिति है, जो आराम कर रहे पिंडों में गुरुत्वाकर्षण के कारण होते हैं। पिंडों की भारहीनता का कारण यह है कि गुरुत्वाकर्षण बल स्वतंत्र रूप से गिरने वाले पिंड और उसके समर्थन (या निलंबन) को समान त्वरण प्रदान करता है।

मान लीजिए कि एक छोटा पिंड झुकाव के कोण के साथ एक झुके हुए तल पर है (चित्र 14.3, ए). आइए जानें: 1) यदि कोई पिंड झुके हुए तल पर फिसलता है तो घर्षण बल क्या होता है; 2) यदि शरीर गतिहीन है तो घर्षण बल क्या है; 3) झुकाव कोण के किस न्यूनतम मान पर शरीर झुके हुए तल से फिसलना शुरू कर देता है।

ए) बी)

घर्षण बल होगा बाधा पहुंचानागति, इसलिए, इसे झुके हुए तल के साथ ऊपर की ओर निर्देशित किया जाएगा (चित्र 14.3, बी). घर्षण बल के अलावा, गुरुत्वाकर्षण बल और सामान्य प्रतिक्रिया बल भी शरीर पर कार्य करते हैं। आइए समन्वय प्रणाली का परिचय दें एचओयू, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है, और समन्वय अक्षों पर इन सभी बलों के प्रक्षेपण खोजें:

एक्स: एफटी.आर. एक्स = –एफट्र, एन एक्स = 0, एमजी एक्स = एमजीसिना;

वाई:एफटी.आर. वाई = 0, एनवाई=एन, मिलीग्राम वाई = -मिलीग्रामकोसा.

चूँकि कोई पिंड केवल झुके हुए तल के अनुदिश अर्थात अक्ष के अनुदिश ही गति कर सकता है एक्स, तो यह स्पष्ट है कि अक्ष पर त्वरण वेक्टर का प्रक्षेपण वाईहमेशा शून्य रहेगा: और वाई= 0, जिसका अर्थ है अक्ष पर सभी बलों के प्रक्षेपण का योग वाईशून्य भी होना चाहिए:

एफटी.आर. वाई + एन वाई + एमजी वाई= 0 Þ 0 + एन-मिलीग्रामकोसा = 0 Þ

एन = मिलीग्रामकोसा. (14.4)

तब सूत्र (14.3) के अनुसार फिसलने वाला घर्षण बल बराबर है:

एफ tr.sk = एम एन=एम एमजीकोसा. (14.5)

यदि शरीर टिकी हुई है, तो अक्ष पर शरीर पर कार्य करने वाले सभी बलों के प्रक्षेपण का योग एक्सशून्य होना चाहिए:

एफटी.आर. एक्स + एन एक्स + एमजी एक्स= 0 Þ – एफटीआर + 0 +मिग्रासिना = 0 Þ

एफटी.आर.पी = मिलीग्रामसिना. (14.6)

यदि हम धीरे-धीरे झुकाव के कोण को बढ़ाते हैं, तो मूल्य एमजीसिना धीरे-धीरे बढ़ेगा, जिसका अर्थ है कि स्थैतिक घर्षण बल भी बढ़ेगा, जो हमेशा बाहरी प्रभावों के लिए "स्वचालित रूप से समायोजित" होता है और इसकी भरपाई करता है।

लेकिन, जैसा कि हम जानते हैं, स्थैतिक घर्षण बल की "संभावनाएँ" असीमित नहीं हैं। कुछ कोण 0 पर, स्थैतिक घर्षण बल का संपूर्ण "संसाधन" समाप्त हो जाएगा: यह स्लाइडिंग घर्षण बल के बराबर, अपने अधिकतम मूल्य तक पहुंच जाएगा। तब समानता सत्य होगी:

एफ tr.sk = मिलीग्रामसीना 0 .

इस समानता में मूल्य को प्रतिस्थापित करना एफ tr.sk सूत्र (14.5) से, हम प्राप्त करते हैं: एम एमजीकोसा 0= एमजीसीना 0 .

अंतिम समानता के दोनों पक्षों को विभाजित करना एमजीकोसा 0, हमें मिलता है:

Þ ए 0 = आर्कटग्राम।

तो, वह कोण a जिस पर पिंड झुके हुए तल पर सरकना शुरू करता है, सूत्र द्वारा दिया जाता है:

ए 0 = आर्कटग्राम। (14.7)

ध्यान दें कि यदि a = a 0 है, तो पिंड या तो गतिहीन पड़ा रह सकता है (यदि आप इसे नहीं छूते हैं), या झुके हुए तल पर स्थिर गति से फिसल सकता है (यदि आप इसे थोड़ा धक्का देते हैं)। यदि एक< a 0 , то тело «стабильно» неподвижно, и легкий толчок не произведет на него никакого «впечатления». А если a >a 0, तो पिंड त्वरण के साथ और बिना किसी झटके के झुके हुए तल से फिसल जाएगा।

समस्या 14.1.एक आदमी दो स्लेजों को एक-दूसरे से जोड़कर ले जा रहा है (चित्र 14.4)। ए), बल लगाना एफक्षैतिज से एक कोण पर। स्लेज का द्रव्यमान समान और समान है टी. बर्फ पर धावकों का घर्षण गुणांक m. स्लेज का त्वरण और तनाव बल ज्ञात कीजिए टीस्लेज के बीच रस्सियाँ, साथ ही बल भी एफ 1, जिससे स्लेज को समान रूप से चलने के लिए एक व्यक्ति को रस्सी खींचनी होगी।

एफपूर्वाह्न एम	ए)	बी)चावल। 14.4
ए = ? टी = ? एफ 1 = ?

समाधान. आइए अक्ष पर प्रक्षेपण में प्रत्येक स्लेज के लिए न्यूटन का दूसरा नियम लिखें एक्सऔर पर(चित्र 14.4, बी):

मैं पर: एन 1 + एफसिना - एमजी = 0, (1)

एक्स: एफकोसा - टी- एम एन 1 = एमए; (2)

द्वितीय पर: एन 2 – एमजी = 0, (3)

एक्स: टी- एम एन 2 = एमए. (4)

(1) से हम पाते हैं एन 1 = एमजी-एफसिना, (3) और (4) से हम पाते हैं टी =एम एमजी++एमए.इन मूल्यों को प्रतिस्थापित करना एन 1 और टी(2) में, हमें मिलता है

.

स्थानापन्न ए(4) में, हम पाते हैं

टी= एम एन 2 + एमए= एम एमजी + वह =

एम एमजी + टी .

ढूँढ़ने के लिए एफ 1, आइए हम अभिव्यक्ति को समान करें एशून्य करने के लिए:

उत्तर: ; ;

.

रुकना! स्वयं निर्णय लें: बी1, बी6, सी3।

समस्या 14.2.द्रव्यमान वाले दो शरीर टीऔर एमचित्र में दिखाए अनुसार धागे से बांधा गया है। 14.5, ए. शरीर किस त्वरण से गति कर रहा है? एम, यदि मेज की सतह पर घर्षण का गुणांक m है। धागे का तनाव क्या है टी? ब्लॉक अक्ष पर दबाव का बल क्या है?

यदि भार नहीं चलता, तो।

उत्तर: 1) यदि टी < mएम, वह ए = 0, टी = एमजी, ; 2) यदि टी³म एम, वह , , .

रुकना! अपने लिए निर्णय लें: B9–B11, C5.

समस्या 15.3.द्रव्यमान वाले दो शरीर टी 1 और टी 2 एक ब्लॉक के ऊपर फेंके गए धागे से जुड़े हुए हैं (चित्र 14.6)। शरीर टी 1 झुकाव के कोण के साथ एक झुके हुए विमान पर है। समतल के परितः घर्षण गुणांक m. शरीर का भार टी 2 धागे पर लटका हुआ। पिंडों का त्वरण, धागे का तनाव बल और अक्ष पर ब्लॉक के दबाव बल का पता लगाएं, बशर्ते कि टी 2 < टी 1 . tga > m पर विचार करें।

चावल। 14.7

आइए अक्ष पर प्रक्षेपण में न्यूटन का दूसरा नियम लिखें एक्स 1 और एक्स 2, यह देखते हुए और:

एक्स 1: टी 1 जीसिना - टी -एम एम 1 जीकोसा = एम 1 ए,

एक्स 2: टी-एम 2 जी = एम 2 ए.

, .

क्योंकि ए>0, फिर

यदि असमानता (1) संतुष्ट नहीं है, तो भार टी 2 निश्चित रूप से आगे नहीं बढ़ रहा है! फिर दो और विकल्प संभव हैं: 1) सिस्टम गतिहीन है; 2) माल टी 2 नीचे चला जाता है (और भार टी 1, क्रमशः, ऊपर)।

चलिए मान लेते हैं कि लोड टी 2 नीचे की ओर बढ़ता है (चित्र 14.8)।

चावल। 14.8

फिर अक्ष पर न्यूटन के दूसरे नियम के समीकरण एक्स 1 और एक्स 2 इस तरह दिखेगा:

एक्स 1: टी - टी 1 जीसिना – एम एम 1 जीकोसा = एम 1 ए,

एक्स 2: एम 2 जी - टी = एम 2 ए.

समीकरणों की इस प्रणाली को हल करने पर, हम पाते हैं:

, .

क्योंकि ए>0, फिर

इसलिए, यदि असमानता (1) संतुष्ट है, तो भार टी 2 ऊपर जाता है, और यदि असमानता (2) संतुष्ट हो जाती है, तो नीचे। इसलिए, यदि इनमें से कोई भी शर्त पूरी नहीं होती है, यानी।

,

प्रणाली गतिहीन है.

यह ब्लॉक अक्ष पर दबाव बल का पता लगाना बाकी है (चित्र 14.9)। ब्लॉक अक्ष पर दबाव बल आरइस स्थिति में इसे एक समचतुर्भुज के विकर्ण के रूप में पाया जा सकता है ए बी सी डी. क्योंकि

Ð एडीसी= 180° – 2,

जहाँ b = 90°- a, तो कोसाइन प्रमेय द्वारा

आर 2 = .

यहाँ से .

उत्तर:

1) यदि , वह , ;

2) यदि , वह , ;

3) यदि , वह ए = 0; टी = टी 2 जी.

सभी मामलों में .

रुकना! स्वयं निर्णय लें: बी13, बी15।

समस्या 14.4.तौलने वाली ट्रॉली पर एमक्षैतिज बल कार्य करता है एफ(चित्र 14.10, ए). भार के बीच घर्षण गुणांक टीऔर कार्ट m के बराबर है। भार का त्वरण ज्ञात कीजिए। न्यूनतम बल कितना होना चाहिए एफलोड करने के लिए 0 टीगाड़ी पर सरकना शुरू कर दिया?

एम, टी एफएम	ए)	बी)चावल। 14.10
ए 1 = ? ए 2 = ? एफ 0 = ?

समाधान. सबसे पहले, ध्यान दें कि भार को चलाने वाला बल टीगति में वह स्थैतिक घर्षण बल है जिसके साथ गाड़ी भार पर कार्य करती है। इस बल का अधिकतम संभव मान m है एमजी.

न्यूटन के तीसरे नियम के अनुसार, भार गाड़ी पर समान बल से कार्य करता है - (चित्र 14.10, बी). स्लिप उस समय शुरू होती है जब यह पहले से ही अपने अधिकतम मूल्य तक पहुंच चुकी होती है, लेकिन सिस्टम अभी भी द्रव्यमान के एक पिंड के रूप में घूम रहा है टी+एमत्वरण के साथ. फिर न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार

गति की विभिन्न स्थितियों के बावजूद, समस्या 8 का समाधान मूल रूप से समस्या 7 के समाधान से भिन्न नहीं है। एकमात्र अंतर यह है कि समस्या 8 में शरीर पर कार्य करने वाली शक्तियाँ एक सीधी रेखा में नहीं होती हैं, इसलिए प्रक्षेपण होना चाहिए दो अक्षों पर लिया गया।

कार्य 8.एक घोड़ा 230 किलोग्राम वजनी स्लेज को खींच रहा है और उस पर 250 N का बल लगा रहा है। आराम से चलते हुए स्लेज 5.5 मीटर/सेकेंड की गति तक पहुंचने से पहले कितनी दूरी तय करेगी। बर्फ पर स्लेज के फिसलने वाले घर्षण का गुणांक 0.1 है, और शाफ्ट क्षितिज से 20° के कोण पर स्थित हैं।

स्लेज पर चार बल कार्यरत हैं: क्षैतिज से 20° के कोण पर निर्देशित कर्षण (तनाव) बल; गुरुत्वाकर्षण लंबवत नीचे की ओर निर्देशित (हमेशा); समर्थन प्रतिक्रिया बल को इसके समर्थन से लंबवत निर्देशित किया गया है, यानी लंबवत ऊपर की ओर (इस समस्या में); गति के विरुद्ध निर्देशित स्लाइडिंग घर्षण बल। चूँकि स्लेज अनुवादात्मक रूप से चलेगी, सभी लागू बलों को एक बिंदु के समानांतर स्थानांतरित किया जा सकता है - पर केंद्र जनतागतिशील शरीर (स्लीघ)। हम उसी बिंदु से होकर निर्देशांक अक्ष भी खींचेंगे (चित्र 8)।

न्यूटन के दूसरे नियम के आधार पर हम गति का समीकरण लिखते हैं:

.

चलो धुरी को निर्देशित करें बैलगति की दिशा के साथ क्षैतिज रूप से (चित्र 8 देखें), और अक्ष ओए- लंबवत ऊपर. आइए समन्वय अक्षों पर समीकरण में शामिल वैक्टरों के प्रक्षेपण लें, स्लाइडिंग घर्षण बल के लिए एक अभिव्यक्ति जोड़ें और समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त करें:

आइए समीकरणों की प्रणाली को हल करें। (सिस्टम के समान समीकरणों की प्रणाली को हल करने की योजना आमतौर पर समान होती है: समर्थन प्रतिक्रिया बल को दूसरे समीकरण से व्यक्त किया जाता है और तीसरे समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है, और फिर घर्षण बल की अभिव्यक्ति को पहले समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है। ) परिणामस्वरूप, हमें प्राप्त होता है:

आइए सूत्र में शब्दों को पुनर्व्यवस्थित करें और इसके दाएं और बाएं पक्षों को द्रव्यमान से विभाजित करें:

.

चूँकि त्वरण समय पर निर्भर नहीं करता है, हम समान रूप से त्वरित गति की गतिकी के लिए सूत्र चुनते हैं, जिसमें गति, त्वरण और विस्थापन शामिल हैं:

.

यह मानते हुए कि प्रारंभिक गति शून्य है, और समान रूप से निर्देशित वैक्टर का अदिश उत्पाद उनके मॉड्यूल के उत्पाद के बराबर है, हम त्वरण को प्रतिस्थापित करते हैं और विस्थापन मॉड्यूल को व्यक्त करते हैं:

;

परिणामी मूल्य समस्या का उत्तर है, क्योंकि सीधी गति के दौरान तय की गई दूरी और विस्थापन का मॉड्यूल मेल खाता है।

उत्तर: स्लेज 195 मीटर की यात्रा करेगी।

1. एक झुके हुए तल पर गति

एक झुके हुए तल पर छोटे पिंडों की गति का वर्णन लंबवत और क्षैतिज रूप से पिंडों की गति के विवरण से मौलिक रूप से भिन्न नहीं है, इसलिए, इस प्रकार की गति पर समस्याओं को हल करते समय, जैसा कि समस्या 7, 8 में है, यह भी आवश्यक है गति के समीकरण को लिखने और निर्देशांक अक्षों पर सदिशों के प्रक्षेपण लेने के लिए। समस्या 9 के समाधान का विश्लेषण करते समय, विभिन्न प्रकार के आंदोलन का वर्णन करने के दृष्टिकोण की समानता और उन बारीकियों पर ध्यान देना आवश्यक है जो इस प्रकार की समस्या के समाधान को ऊपर चर्चा की गई समस्याओं के समाधान से अलग करती हैं।

कार्य 9.एक स्कीयर एक लंबी, सपाट बर्फ से ढकी पहाड़ी से नीचे फिसलता है, क्षितिज पर झुकाव का कोण 30° है, और लंबाई 140 मीटर है। यदि ढीली बर्फ पर स्की के फिसलने वाले घर्षण का गुणांक 0.21 है तो नीचे उतरने में कितना समय लगेगा? ?

एक झुके हुए विमान के साथ एक स्कीयर की गति तीन बलों के प्रभाव में होती है: गुरुत्वाकर्षण बल लंबवत नीचे की ओर निर्देशित होता है; समर्थन प्रतिक्रिया बल समर्थन के लंबवत निर्देशित; फिसलने वाला घर्षण बल शरीर की गति के विरुद्ध निर्देशित होता है। स्लाइड की लंबाई की तुलना में स्कीयर के आकार की उपेक्षा करना, न्यूटन के दूसरे नियम के आधार पर हम गति का समीकरण लिखते हैंस्कीयर:

.

आइए एक अक्ष चुनें बैलझुके हुए तल के अनुदिश नीचे (चित्र 9), और अक्ष ओए- ऊपर की ओर झुके हुए तल के लंबवत। आइए समीकरण वैक्टर के प्रक्षेपणों को चयनित समन्वय अक्षों पर लें, यह ध्यान में रखते हुए कि त्वरण झुके हुए विमान के साथ नीचे की ओर निर्देशित है, और उनमें एक अभिव्यक्ति जोड़ें जो स्लाइडिंग घर्षण बल को निर्धारित करती है। हमें समीकरणों की एक प्रणाली मिलती है:

आइए त्वरण के लिए समीकरणों की प्रणाली को हल करें। ऐसा करने के लिए, सिस्टम के दूसरे समीकरण से, हम समर्थन प्रतिक्रिया बल को व्यक्त करते हैं और परिणामी सूत्र को तीसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं, और घर्षण बल के लिए अभिव्यक्ति को पहले में प्रतिस्थापित करते हैं। द्रव्यमान कम करने के बाद हमारे पास सूत्र है:

.

त्वरण समय पर निर्भर नहीं करता है, जिसका अर्थ है कि हम समान रूप से त्वरित गति की गतिकी के लिए सूत्र का उपयोग कर सकते हैं, जिसमें विस्थापन, त्वरण और समय शामिल है:

.

इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि स्कीयर की प्रारंभिक गति शून्य है, और विस्थापन मॉड्यूल स्लाइड की लंबाई के बराबर है, हम सूत्र से समय व्यक्त करते हैं और परिणामी सूत्र में त्वरण को प्रतिस्थापित करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

;

उत्तर: पहाड़ से उतरने का समय 9.5 सेकेंड।