Определете ъгъла между линиите. Вижте какво е "ъгъл" в други речници. Изчисляване на произведението на вектор с число

Състои се от два различни лъча, идващи от една и съща точка. Лъчи се обадиха страни на U., а общото им начало – върха на U. Нека [ Вирджиния),[слънце) - ъглови страни, В -неговият връх е равнина, определена от страните U. Фигурата разделя равнината на две фигури Фигура i==l, 2, наричан още. U. или плосък ъгъл, т.нар. вътрешната област на плоското U.
Два ъгъла. равни (или конгруентни), ако могат да се комбинират така, че съответните им страни и върхове да съвпадат. От всеки лъч на равнината в дадена посока от нея може да се отдели единствен лъч, равен на дадения лъч.Сравнението на лъча се извършва по два начина. Ако една точка се разглежда като двойка лъчи с общ произход, то за да се изясни въпросът коя от двете точки е по-голяма, е необходимо да се комбинират точките на точката и една двойка техни страни в едно и също равнина (виж фиг. 1). Ако втората страна на една U. се окаже разположена вътре в друга U., тогава те казват, че първата U. е по-малка от втората. Вторият метод за сравняване на U. се основава на сравняване на всяко U. с определено число. Равно U. ще съответства на същите градуси или (виж по-долу), по-голямо U. - по-голямо число, по-малко - по-малко.

Две У. наз. съседни, ако имат общ връх и една страна, а другите две страни образуват права линия (виж фиг. 2). Най-общо У., имащ общ връх и една обща страна, нар. съседен. W. наз. вертикален, ако страните на един са продължение отвъд върха на страните на друг U. Вертикалните U. са равни един на друг. У., при което страните образуват права линия, т.нар. разгърнати. Половината от разширения У. наз. директен U. Директен U. може да бъде еквивалентно дефиниран по различен начин: U., равен на съседния му, нар. директен. Вътрешната равнина на равнината, която не надвишава развитата, е изпъкнала област на равнината. 90-ият дял от директния U. се приема като мерна единица U., наречена. степен.

Използва се и така наречената мярка U. Числената стойност на радианова мярка U. е равна на дължината на дъгата, отсечена от страните U. от единичната окръжност. Един радиан се приписва на U. съответстващ на дъга, която е равна на нейния радиус. Разширеното U. е равно на радиани.
При пресичането на две прави, лежащи в една и съща равнина, третата права линия образува U. (виж фиг. 3): 1 и 5, 2 и 6, 4 и 8, Z и 7 - т.нар. подходящо; 2 и 5, 3 и 8 - вътрешни едностранни; 1 и 6, 4 и 7 - външни едностранни; 3 и 5, 2 и 8 - вътрешно кръстосано лежане; 1 и 7, 4 и 6 - външни легнали на кръст.

На практика В задачите е целесъобразно ъгълът на завъртане да се разглежда като мярка за въртенето на фиксиран лъч около неговия произход до дадено положение. В този случай, в зависимост от посоката на въртене, може да се разглеждат както положителни, така и отрицателни. По този начин U. в този смисъл може да има всякаква стойност за своята стойност. U. като въртене на лъча се разглежда в теорията на тригонометрията. функции: за всякакви стойности на аргумента (U.), можете да определите стойностите на тригонометричния. функции. Понятието W. в геометрич. Системата, която се основава на точково-векторната аксиоматика, е фундаментално различна от дефинициите на W. като фигура - в тази аксиоматика W. се разбира като определена метрика. стойност, свързана с два вектора, използвайки операцията за векторно скаларно умножение. А именно, всяка двойка вектори ai и b определя определен ъгъл - число, свързано с векторите по формулата

Където ( а, б) - скаларно произведение на вектори.
Концепцията за U. като плоска фигура и като определена числена величина се използва в различни геометрични. проблеми, в които В. се определя по особен начин. По този начин, под U. между пресичащи се криви, които имат определени допирателни в точката на пресичане, те разбират U., образуван от тези допирателни.
Ъгълът между права линия и равнина се приема като ъгъл, образуван от права линия и нейната правоъгълна проекция върху равнината; измерва се от 0

Математическа енциклопедия. - М.: Съветска енциклопедия. И. М. Виноградов. 1977-1985 г.

Вижте какво е "ЪГЪЛ" в други речници:

въглища- ъгъл / йок / ... Морфемен правописен речник

Съпруг. счупване, счупване, коляно, лакът, издатина или цепнатина (корито) на едно лице. Ъгълът е линеен, всеки два контраудара и техния интервал; ъгъл планарен или в равнини, среща на две равнини или стени; дебел, корпулен ъгъл, среща в едно... Обяснителен речник на Дал

Ъгъл, около ъгъл, на (в) ъгъл и (мат.) в ъгъл, м. 1. Част от равнината между две прави линии, излизащи от една точка (мат.). Горната част на ъгъла. Страните на ъгъла. Измерване на ъгъл в градуси. Прав ъгъл. (90°). Остър ъгъл. (по-малко от 90°). Тъп ъгъл.... Обяснителен речник на Ушаков

ЪГЛОВ- (1) ъгълът на атака между посоката на въздушния поток върху крилото на самолета и хордата на сечението на крилото. Стойността на повдигащата сила зависи от този ъгъл. Ъгълът, при който повдигащата сила е максимална, се нарича критичен ъгъл на атака. ти…… Голяма политехническа енциклопедия

- (апартамент) геометрична фигура, образуван от два лъча (страни на ъгъла), излизащи от една точка (върха на ъгъла). Всеки ъгъл с връх в центъра на някаква окръжност (централен ъгъл) определя дъга AB върху окръжността, ограничена от точки ... ... Голям енциклопедичен речник

Главата на ъгъла, от зад ъгъла, мечият ъгъл, ъгълът, във всички ъгли .. Речник на руски синоними и изрази, подобни по значение. под. изд. Н. Абрамова, М.: Руски речници, 1999. ъгъл отгоре, ъгъл точка; лагер, подслон, девиатина, румб, ... ... Речник на синонимите

ъгъл- ъгъл, вид. ъгъл; внушение за ъгъла, в (на) ъгъла и в речта на математиците в ъгъла; мн. ъгли, вид ъгли. В предложни и стабилни комбинации: зад ъгъла и допустимо зад ъгъла (влезте, завъртете и т.н.), от ъгъл до ъгъл (преместете се, настанете се и т.н.), ъгъл ... ... Речник на произношението и ударението в съвременния руски език

ЪГЪЛ, ъгъл, около ъгъла, на (в) ъгъла, съпруг. 1. (в ъгъла.). В геометрията: плоска фигура, образувана от два лъча (в 3 стойности), излизащи от една и съща точка. Горната част на ъгъла. Директно към. (90°). Остър при. (по-малко от 90°). Тъп при. (повече от 90°). Външни и вътрешни ..... Обяснителен речник на Ожегов

ъгъл- ЪГЪЛ, angle, м. Четвъртина от залога, при обявяването на който ръбът на картата е огънат. ◘ Асо и Дама Пика с ъгъл // Убит. А. И. Полежаев. Ден в Москва, 1832 г Залагащите разбиват тестета, ... ... Карточна терминология и жаргон на 19 век

Определение

Геометрична фигура, състояща се от всички точки на равнина, затворени между два лъча, излизащи от една точка, се нарича плосък ъгъл.

Определение

Ъгъл между двепресичащи се директеннарича стойността на най-малкия равнинен ъгъл при пресичането на тези линии. Ако две прави са успоредни, тогава ъгълът между тях се приема за нула.

Ъгълът между две пресичащи се линии (ако се измерва в радиани) може да приема стойности от нула до $\dfrac(\pi)(2)$.

Определение

Ъгъл между две пресичащи се прависе нарича стойността, равна на ъгъла между две пресичащи се прави, успоредни на косите. Ъгълът между правите $a$ и $b$ се означава с $\angle (a, b)$.

Коректността на въведеното определение следва от следната теорема.

Теорема за равнинен ъгъл с успоредни страни

Стойностите на два изпъкнали равнинни ъгъла със съответно успоредни и еднакво насочени страни са равни.

Доказателство

Ако ъглите са прави, тогава и двата са равни на $\pi$. Ако не са развити, тогава нанасяме равни отсечки $ON=O_1ON_1$ и $OM=O_1M_1$ върху съответните страни на ъглите $\angle AOB$ и $\angle A_1O_1B_1$.

Четириъгълникът $O_1N_1NO$ е успоредник, защото противоположните му страни $ON$ и $O_1N_1$ са равни и успоредни. По същия начин четириъгълникът $O_1M_1MO$ ​​​​е успоредник. Следователно $NN_1 = OO_1 = MM_1$ и $NN_1 \parallel OO_1 \parallel MM_1$, следователно $NN_1=MM_1$ и $NN_1 \parallel MM_1$ чрез транзитивност. Четириъгълникът $N_1M_1MN$ е успоредник, защото противоположните му страни са равни и успоредни. Следователно отсечките $NM$ и $N_1M_1$ също са равни. Триъгълниците $ONM$ и $O_1N_1M_1$ са равни според критерия за равенство на третия триъгълник, следователно съответните ъгли $\angle NOM$ и $\angle N_1O_1M_1$ също са равни.

Нека два ненулеви вектора и са дадени на равнина или в тримерно пространство. Отделете от произволна точка Овектори и . Тогава важи следното определение.

Определение.

Ъгъл между векторитеи се нарича ъгъл между лъчите ОАИ ОВ.

Ъгълът между векторите и ще бъде означен като .

Ъгълът между векторите може да приема стойности от 0 до или, което е същото, от до .

Когато векторите и са съпосочни, когато векторите и са противоположно насочени.

Определение.

Вектори и се наричат перпендикулярен, ако ъгълът между тях е (радиани).

Ако поне един от векторите е нула, тогава ъгълът не е определен.

Намиране на ъгъл между вектори, примери и решения.

Косинусът на ъгъла между векторите и , а оттам и самият ъгъл, в общия случай може да се намери или с помощта на скаларното произведение на векторите, или с помощта на косинусовата теорема за триъгълник, изграден върху векторите и .

Нека анализираме тези случаи.

По дефиниция скаларното произведение на векторите е . Ако векторите и са различни от нула, тогава можем да разделим двете части на последното равенство на произведението на дължините на векторите и , и получаваме формула за намиране на косинус на ъгъл между ненулеви вектори: . Тази формула може да се използва, ако са известни дължините на векторите и тяхното скаларно произведение.

Пример.

Изчислете косинуса на ъгъла между векторите и , а също така намерете самия ъгъл, ако дължините на векторите и са равни 3 И 6 съответно и тяхното скаларно произведение е равно на -9 .

Решение.

В условието на задачата са дадени всички количества, необходими за прилагане на формулата. Изчисляваме косинуса на ъгъла между векторите и : .

Сега намираме ъгъла между векторите: .

Отговор:

Има задачи, при които векторите са дадени с координати в правоъгълна координатна система на равнина или в пространството. В тези случаи, за да намерите косинуса на ъгъла между векторите, можете да използвате същата формула, но в координатна форма. Нека го вземем.

Дължината на вектора е корен квадратен от сумата от квадратите на неговите координати, скаларното произведение на векторите е равно на сумата от произведенията на съответните координати. следователно формула за изчисляване на косинуса на ъгъла между векторитена равнината има формата , а за векторите в тримерното пространство - .

Пример.

Намерете ъгъла между векторите, дадени в правоъгълна координатна система.

Решение.

Можете веднага да използвате формулата:

И можете да използвате формулата, за да намерите косинуса на ъгъла между векторите, като предварително сме изчислили дължините на векторите и скаларното произведение по координатите:

Отговор:

Проблемът се свежда до предишния случай, когато са дадени координатите на три точки (напр. А, INИ СЪС) в правоъгълна координатна система и трябва да намерите някакъв ъгъл (например ).

Действително ъгълът е равен на ъгъла между векторите и . Координатите на тези вектори се изчисляват като разликата между съответните координати на крайната и началната точка на вектора.

Пример.

На равнината в декартовата координатна система са дадени координатите на три точки. Намерете косинуса на ъгъла между векторите и .

Решение.

Нека определим координатите на векторите и по координатите на дадените точки:

Сега нека използваме формулата, за да намерим косинуса на ъгъла между векторите в равнината в координати:

Отговор:

Ъгълът между векторите и също може да се изчисли от косинусова теорема. Ако отложим от точката Овектори и , тогава по закона за косинусите в триъгълник OABможем да напишем, което е еквивалентно на равенство, откъдето намираме косинуса на ъгъла между векторите. За да приложим получената формула, се нуждаем само от дължините на векторите и , които лесно се намират от координатите на векторите и . Този метод обаче практически не се използва, тъй като косинусът на ъгъла между векторите е по-лесен за намиране с помощта на формулата.

Изчисляване на ортогонална проекция (самопроекция):

Проекцията на вектор върху оста l е равна на произведението на модула на вектора и косинуса на ъгъла φ между вектора и оста, т.е. pr cosφ.

Документация: Ако φ=< , то пр l =+ = *cos φ.

Ако φ> (φ≤), тогава pr l =- =- * cos( -φ) = cosφ (вижте фиг. 10)

Ако φ= , то pr l = 0 = сos φ.

Последица: Проекцията на вектор върху ос е положителна (отрицателна), ако векторът образува остър (тъп) ъгъл с оста, и нула, ако този ъгъл е прав ъгъл.

Последица: Проекциите на еднакви вектори върху една и съща ос са равни една на друга.

Изчисляване на ортогоналната проекция на сумата от вектори (собствена проекция):

Проекцията на сумата от няколко вектора върху една и съща ос е равна на сумата от техните проекции върху тази ос.

Док-ин: Нека например = + + . Имаме pr l =+ =+ + - , т.е. pr l ( + + ) = pr l + pr l + pr l (виж фиг.11)

ОРИЗ. единадесет

Изчисляване на произведението на вектор от число:

При умножаване на вектор по числото λ, неговата проекция върху оста също се умножава по това число, т.е. pr l (λ* )= λ* pr l .

Доказателство: За λ > 0 имаме pr l (λ* )= *cos φ = λ* φ = λ*pr l

Когато λl (λ* )= *cos( -φ)=- * (-cosφ) = * cosφ= λ *pr l .

Имотът важи и за

Така линейните операции върху вектори водят до съответните линейни операции върху проекции на тези вектори.