रेखाओं के बीच के कोण को परिभाषित कीजिए। देखें कि "कोण" अन्य शब्दकोशों में क्या है। किसी संख्या द्वारा सदिश के गुणनफल की गणना करना

एक ही बिंदु से आने वाले दो अलग-अलग बीमों से मिलकर। किरण ने फोन किया यू के पक्ष, और उनकी आम शुरुआत - यू के ऊपर। चलो [ वीए),[रवि) - कोने के किनारे, में -इसका शीर्ष भुजा U द्वारा परिभाषित एक तल है। चित्र तल को दो आकृतियों में विभाजित करता है चित्र i==l, 2, भी कहा जाता है। यू या फ्लैट कोण, कहा जाता है। फ्लैट यू के भीतरी क्षेत्र।
दो कोने। बराबर (या सर्वांगसम) अगर उन्हें जोड़ा जा सकता है ताकि उनकी संगत भुजाएँ और शीर्ष संपाती हों। समतल पर किसी भी किरण से दी गई दिशा में, दी गई किरण के बराबर एक अद्वितीय किरण अलग कर सकते हैं। किरण की तुलना दो तरह से की जाती है। यदि एक बिंदु को एक सामान्य मूल के साथ किरणों की एक जोड़ी के रूप में माना जाता है, तो इस प्रश्न को स्पष्ट करने के लिए कि दो बिंदुओं में से कौन सा बड़ा है, बिंदु के बिंदुओं और उनके पक्षों की एक जोड़ी को एक साथ जोड़ना आवश्यक है विमान (चित्र 1 देखें)। यदि एक U का दूसरा भाग दूसरे U के अंदर स्थित हो जाता है, तो वे कहते हैं कि पहला U दूसरे से छोटा है। यू की तुलना करने की दूसरी विधि प्रत्येक यू की एक निश्चित संख्या के साथ तुलना करने पर आधारित है। समान यू। एक ही डिग्री या (नीचे देखें) के अनुरूप होगा, एक बड़ा यू - एक बड़ी संख्या, एक छोटा - एक छोटा।

दो यू नाज़। आसन्न यदि उनके पास एक सामान्य शीर्ष और एक भुजा है, और अन्य दो भुजाएँ एक सीधी रेखा बनाती हैं (चित्र 2 देखें)। सामान्य तौर पर, यू।, एक सामान्य शीर्ष और एक सामान्य पक्ष होता है, जिसे कहा जाता है। नज़दीक। डब्ल्यू नाज़। लंबवत, यदि एक की भुजाएँ दूसरे U की भुजाओं के शीर्ष से परे निरंतरता हैं। लंबवत U. एक दूसरे के बराबर हैं। यू।, जिस पर भुजाएँ एक सीधी रेखा बनाती हैं, कहलाती हैं। तैनात। विस्तारित यू नाज़ का आधा। प्रत्यक्ष यू। डायरेक्ट यू। को समतुल्य रूप से अलग तरह से परिभाषित किया जा सकता है: यू।, इसके आसन्न के बराबर, कहा जाता है। प्रत्यक्ष। एक विमान का आंतरिक तल, जो विकसित एक से अधिक नहीं है, समतल पर एक उत्तल क्षेत्र है। प्रत्यक्ष यू के 90 वें हिस्से को माप यू की एक इकाई के रूप में लिया जाता है, जिसे कहा जाता है। डिग्री।

तथाकथित माप यू का भी उपयोग किया जाता है। रेडियन माप यू का संख्यात्मक मान यूनिट सर्कल से पक्षों यू द्वारा काटे गए चाप की लंबाई के बराबर है। एक रेडियन को एक चाप के अनुरूप यू के लिए जिम्मेदार ठहराया जाता है, जो इसके त्रिज्या के बराबर होता है। विस्तारित U. रेडियन के बराबर है।
एक ही विमान में पड़ी दो सीधी रेखाओं के चौराहे पर, तीसरी सीधी रेखा U बनाती है। (चित्र 3 देखें): 1 और 5, 2 और 6, 4 और 8, Z और 7 - कहलाते हैं। उचित; 2 और 5, 3 और 8 - आंतरिक एकतरफा; 1 और 6, 4 और 7 - बाहरी एकतरफा; 3 और 5, 2 और 8 - आंतरिक क्रॉस झूठ बोलना; 1 और 7, 4 और 6 - बाहरी आड़े-तिरछे।

व्यावहारिकता में समस्याओं में, रोटेशन के कोण को अपने मूल के चारों ओर एक निश्चित किरण के घूर्णन के माप के रूप में किसी दिए गए स्थान पर विचार करना समीचीन है। इस मामले में, रोटेशन की दिशा के आधार पर सकारात्मक और नकारात्मक दोनों पर विचार किया जा सकता है। इस प्रकार, यू। इस अर्थ में इसके मूल्य के लिए कोई मूल्य हो सकता है। यू। बीम के रोटेशन के रूप में त्रिकोणमितीय सिद्धांत में माना जाता है। कार्य: तर्क (यू) के किसी भी मूल्य के लिए, आप त्रिकोणमितीय के मान निर्धारित कर सकते हैं। कार्य करता है। ज्यामितीय में डब्ल्यू की अवधारणा। प्रणाली, जो बिंदु-वेक्टर स्वयंसिद्ध पर आधारित है, मूल रूप से डब्ल्यू की परिभाषाओं से एक आकृति के रूप में भिन्न है - इस स्वयंसिद्ध में, डब्ल्यू को एक निश्चित मीट्रिक के रूप में समझा जाता है। सदिश अदिश गुणन संक्रिया का उपयोग करते हुए दो सदिशों से संबद्ध मान। अर्थात्, वैक्टर ऐ और बी की प्रत्येक जोड़ी एक निश्चित कोण को परिभाषित करती है - सूत्र द्वारा वैक्टर से जुड़ी एक संख्या

कहाँ ( ए, बी) - सदिशों का अदिश गुणनफल।
यू की अवधारणा एक सपाट आकृति के रूप में और एक निश्चित संख्यात्मक मात्रा के रूप में विभिन्न ज्यामितीय में उपयोग की जाती है। ऐसी समस्याएं जिनमें डब्ल्यू एक विशेष तरीके से निर्धारित होता है। इस प्रकार, यू द्वारा चौराहे के बिंदु पर निश्चित स्पर्शरेखा वाले प्रतिच्छेदन वक्रों के बीच, वे इन स्पर्शरेखाओं द्वारा गठित यू को समझते हैं।
एक सीधी रेखा और एक समतल के बीच के कोण को एक सीधी रेखा और उसके आयताकार प्रक्षेपण द्वारा समतल पर बनाए गए कोण के रूप में लिया जाता है; इसे 0 से मापा जाता है

गणितीय विश्वकोश। - एम।: सोवियत विश्वकोश. आई एम विनोग्रादोव। 1977-1985।

अन्य शब्दकोशों में देखें "ANGLE" क्या है:

कोयला- कोण / योक / ... मॉर्फेमिक स्पेलिंग डिक्शनरी

पति। एक चेहरे पर फ्रैक्चर, फ्रैक्चर, घुटने, कोहनी, फलाव या दरार (गर्त)। कोण रैखिक है, कोई भी दो काउंटर स्ट्रोक और उनका अंतराल; कोण प्लानर या विमानों में, दो विमानों या दीवारों की बैठक; एक मोटा, मोटा कोना, एक बैठक ... डाहल का व्याख्यात्मक शब्दकोश

कोण, एक कोण के बारे में, (में) एक कोने और (चटाई।) एक कोण में, मी। 1। एक बिंदु (चटाई।) से निकलने वाली दो सीधी रेखाओं के बीच विमान का हिस्सा। कोने का शीर्ष। कोने के किनारे। डिग्री में कोण माप। समकोण। (90 डिग्री)। तेज़ कोने। (90 डिग्री से कम)। अधिक कोण।… … उशाकोव का व्याख्यात्मक शब्दकोश

कोना- (1) वायुयान के पंख पर वायु प्रवाह की दिशा और पंख के खंड की डोरी के बीच आक्रमण का कोण। भारोत्तोलन बल का मान इस कोण पर निर्भर करता है। वह कोण जिस पर उत्थापन बल अधिकतम होता है, आक्रमण का क्रांतिक कोण कहलाता है। यू… … महान पॉलिटेक्निक विश्वकोश

- (समतल) ज्यामितीय आकृति, एक बिंदु (कोने के शीर्ष) से ​​निकलने वाली दो किरणों (कोने के किनारे) से बनता है। किसी वृत्त के केंद्र में एक शीर्ष के साथ कोई भी कोण (केंद्रीय कोण) बिंदुओं से घिरे वृत्त पर एक चाप AB को परिभाषित करता है ... ... बड़ा विश्वकोश शब्दकोश

कोने का सिर, कोने के चारों ओर, मंदी का कोना, कोना, सभी कोनों में .. रूसी पर्यायवाची शब्द और अर्थ में समान भाव। अंतर्गत। ईडी। एन. अब्रामोवा, एम.: रशियन डिक्शनरी, 1999. कॉर्नर टॉप, कॉर्नर पॉइंट; बियरिंग, शेल्टर, डेवियेटिना, रंब,... ... पर्यायवाची शब्द

कोना- कोण, दयालु। कोना; सुझाव कोने के बारे में, (पर) कोने में और कोने में गणितज्ञों के भाषण में; कृपया। कोने, दयालु कोनों। पूर्वसर्गीय और स्थिर संयोजनों में: कोने के चारों ओर और कोने के चारों ओर अनुमेय (प्रवेश, मोड़, आदि), कोने से कोने तक (चाल, बसना, आदि), कोने ... ... आधुनिक रूसी में उच्चारण और तनाव की कठिनाइयों का शब्दकोश

कोण, कोने, कोने के बारे में, कोने पर, पति। 1. (कोने में।) । ज्यामिति में: एक ही बिंदु से निकलने वाली दो किरणों (3 मूल्यों में) द्वारा बनाई गई एक सपाट आकृति। कोने का शीर्ष। पर प्रत्यक्ष। (90 डिग्री)। तीव्र पर। (90 डिग्री से कम)। पर गूंगा। (90 डिग्री से अधिक)। बाहरी और आंतरिक...... ओज़ेगोव का व्याख्यात्मक शब्दकोश

कोना- ANGLE, angle, m. बेट का क्वार्टर, जिसकी घोषणा पर कार्ड का किनारा मुड़ा हुआ है। ◘ ऐस और हुकुम की रानी एक कोण के साथ // मारे गए। एआई पोलझाएव। मास्को में दिन, 1832 पंटर्स डेक तोड़ रहे हैं, ... ... कार्ड शब्दावली और उन्नीसवीं सदी के शब्दजाल

परिभाषा

एक बिंदु से निकलने वाली दो किरणों के बीच परिबद्ध तल के सभी बिन्दुओं से बनी एक ज्यामितीय आकृति कहलाती है समतल कोना.

परिभाषा

दो के बीच का कोणअन्तर्विभाजक प्रत्यक्षइन रेखाओं के प्रतिच्छेदन पर सबसे छोटे समतल कोण का मान कहलाता है। यदि दो रेखाएँ समानांतर हैं, तो उनके बीच का कोण शून्य माना जाता है।

दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच का कोण (यदि रेडियन में मापा जाता है) शून्य से $\dfrac(\pi)(2)$ तक मान ले सकता है।

परिभाषा

दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच का कोणतिरछी रेखाओं के समानांतर दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच के कोण के बराबर मान कहा जाता है। लाइनों $a$ और $b$ के बीच के कोण को $\angle (a, b)$ द्वारा दर्शाया जाता है।

पेश की गई परिभाषा की शुद्धता निम्नलिखित प्रमेय से होती है।

समांतर भुजाओं के साथ समतल कोण प्रमेय

समान रूप से समांतर और समान रूप से निर्देशित भुजाओं वाले दो उत्तल समतल कोणों के मान समान होते हैं।

सबूत

यदि कोण सीधे हैं, तो वे दोनों $\pi$ के बराबर हैं। यदि वे विकसित नहीं होते हैं, तो हम समान खंडों $ON=O_1ON_1$ और $OM=O_1M_1$ को कोणों $\angle AOB$ और $\angle A_1O_1B_1$ के संबंधित पक्षों पर प्लॉट करते हैं।

चतुर्भुज $O_1N_1NO$ एक समानांतर चतुर्भुज है क्योंकि इसके विपरीत पक्ष $ON$ और $O_1N_1$ समान और समानांतर हैं। इसी प्रकार चतुर्भुज $O_1M_1MO$ ​​एक समांतर चतुर्भुज है। इसलिए $NN_1 = OO_1 = MM_1$ और $NN_1 \parallel OO_1 \parallel MM_1$, इसलिए $NN_1=MM_1$ और $NN_1 \parallel MM_1$ ट्रांज़िटिविटी द्वारा। चतुर्भुज $N_1M_1MN$ एक समांतर चतुर्भुज है क्योंकि इसकी विपरीत भुजाएँ समान और समानांतर हैं। इसलिए, खंड $NM$ और $N_1M_1$ भी बराबर हैं। त्रिभुज $ONM$ और $O_1N_1M_1$ तीसरे त्रिकोण समानता मानदंड के अनुसार समान हैं, इसलिए संबंधित कोण $\angle NOM$ और $\angle N_1O_1M_1$ भी बराबर हैं।

दो गैर-शून्य वैक्टर और एक विमान या त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दिए जाने दें। एक मनमाना बिंदु से अलग सेट करें हेवैक्टर और। तब निम्नलिखित परिभाषा धारण करती है।

परिभाषा।

वैक्टर के बीच का कोणऔर किरणों के बीच का कोण कहलाता है ओएऔर ओबी.

सदिशों और के बीच के कोण को के रूप में निरूपित किया जाएगा।

सदिशों के बीच के कोण से मान ले सकते हैं 0 से या, जो समान है, से से तक।

जब सदिश और सहदिशात्मक होते हैं, जब सदिश और विपरीत दिशा में होते हैं।

परिभाषा।

वेक्टर और कहलाते हैं सीधा, यदि उनके बीच का कोण (रेडियन) है।

यदि सदिशों में से कम से कम एक शून्य है, तो कोण परिभाषित नहीं है।

वैक्टर, उदाहरण और समाधान के बीच कोण ढूँढना।

वैक्टर और के बीच कोण का कोज्या, और इसलिए स्वयं कोण, सामान्य मामले में या तो वैक्टर के स्केलर उत्पाद का उपयोग करके, या वैक्टर पर बने त्रिकोण के लिए कोसाइन प्रमेय का उपयोग करके और पाया जा सकता है।

आइए इन मामलों का विश्लेषण करते हैं।

परिभाषा के अनुसार, सदिशों का अदिश गुणनफल है। यदि सदिश तथा गैर-शून्य हैं, तो हम अंतिम समानता के दोनों भागों को सदिशों की लंबाई के गुणनफल से विभाजित कर सकते हैं और, और हम प्राप्त करते हैं शून्येतर सदिशों के बीच के कोण की कोज्या ज्ञात करने का सूत्र: . इस सूत्र का उपयोग किया जा सकता है यदि सदिशों की लंबाई और उनके अदिश गुणनफल ज्ञात हों।

उदाहरण।

सदिशों और के बीच के कोण की कोसाइन की गणना करें, और स्वयं कोण भी ज्ञात करें, यदि सदिशों की लंबाई और समान हैं 3 और 6 क्रमशः, और उनका स्केलर उत्पाद बराबर है -9 .

समाधान।

समस्या की स्थिति में, सूत्र को लागू करने के लिए आवश्यक सभी मात्राएँ दी गई हैं। हम सदिशों और : के बीच के कोण की कोसाइन की गणना करते हैं।

अब हम सदिशों के बीच का कोण ज्ञात करते हैं: .

उत्तर:

ऐसी समस्याएं हैं जहां एक विमान या अंतरिक्ष में एक आयताकार समन्वय प्रणाली में निर्देशांक द्वारा वैक्टर दिए जाते हैं। इन मामलों में, सदिशों के बीच के कोण की कोज्या ज्ञात करने के लिए, आप उसी सूत्र का उपयोग कर सकते हैं, लेकिन निर्देशांक रूप में। चलो इसे हासिल करते है।

एक सदिश की लंबाई उसके निर्देशांकों के वर्गों के योग का वर्गमूल है, सदिशों का अदिश गुणनफल संगत निर्देशांकों के गुणनफल के योग के बराबर होता है। इस तरह, वैक्टर के बीच कोण के कोसाइन की गणना के लिए सूत्रविमान पर रूप है, और त्रि-आयामी अंतरिक्ष में वैक्टर के लिए -।

उदाहरण।

एक आयताकार निर्देशांक प्रणाली में दिए गए सदिशों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

समाधान.

आप तुरंत सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

और आप सदिशों के बीच के कोण की कोज्या ज्ञात करने के लिए सूत्र का उपयोग कर सकते हैं, पहले निर्देशांक पर वैक्टर और स्केलर उत्पाद की लंबाई की गणना की:

उत्तर:

समस्या पिछले मामले में कम हो जाती है जब तीन बिंदुओं के निर्देशांक दिए जाते हैं (उदाहरण के लिए, ए, मेंऔर साथ) एक आयताकार समन्वय प्रणाली में और आपको कुछ कोण खोजने की जरूरत है (उदाहरण के लिए,)।

दरअसल, कोण वैक्टर और के बीच के कोण के बराबर है। इन वैक्टरों के निर्देशांक की गणना इस प्रकार की जाती है वेक्टर के अंत और प्रारंभ बिंदुओं के संबंधित निर्देशांक के बीच का अंतर.

उदाहरण.

कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में समतल पर तीन बिंदुओं के निर्देशांक दिए गए हैं। सदिशों और के बीच के कोण की कोज्या ज्ञात कीजिए।

समाधान.

आइए हम वैक्टर के निर्देशांक और दिए गए बिंदुओं के निर्देशांक निर्धारित करें:

अब निर्देशांक में समतल पर सदिशों के बीच के कोण की कोज्या ज्ञात करने के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं:

उत्तर:

सदिशों तथा के बीच के कोण की गणना भी की जा सकती है कोसाइन प्रमेय. अगर हम बिंदु से स्थगित करते हैं हेसदिश और , फिर एक त्रिभुज में कोसाइन के नियम द्वारा ओएबीहम लिख सकते हैं, जो समानता के समतुल्य है, जहां से हम सदिशों के बीच के कोण की कोज्या पाते हैं। परिणामी सूत्र को लागू करने के लिए, हमें केवल सदिशों और की लंबाई की आवश्यकता है, जो कि सदिशों और के निर्देशांकों से आसानी से मिल जाते हैं। हालाँकि, इस पद्धति का व्यावहारिक रूप से उपयोग नहीं किया जाता है, क्योंकि सूत्र का उपयोग करके वैक्टर के बीच के कोण के कोसाइन को खोजना आसान है।

ऑर्थोगोनल प्रोजेक्शन (स्व-प्रक्षेपण) की गणना:

एल अक्ष पर एक वेक्टर का प्रक्षेपण वेक्टर के मॉड्यूलस के उत्पाद के बराबर है और कोण φ के कोसाइन वेक्टर और धुरी के बीच है, यानी। पीआर cosφ।

दस्तावेज़ीकरण: यदि φ=< , то пр l =+ = *cos φ.

यदि φ> (φ≤ ), तो pr l =- =- * cos( -φ) = cosφ (चित्र 10 देखें)

अगर φ= , तो pr l = 0 = сos φ.

परिणाम: किसी अक्ष पर सदिश का प्रक्षेपण धनात्मक (ऋणात्मक) होता है यदि सदिश अक्ष के साथ एक तीव्र (आंशिक) कोण बनाता है, और यदि यह कोण समकोण है तो शून्य होता है।

परिणाम: एक ही अक्ष पर समान सदिशों के प्रक्षेप एक दूसरे के बराबर होते हैं।

वैक्टर के योग के ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण की गणना (स्वयं का प्रक्षेपण):

एक ही अक्ष पर कई सदिशों के योग का प्रक्षेपण इस अक्ष पर उनके प्रक्षेपणों के योग के बराबर होता है।

डॉक-इन: चलो, उदाहरण के लिए, = + +। हमारे पास pr l =+ =+ + - , अर्थात् पीआर एल (+ + ) = पीआर एल + पीआर एल + पीआर एल (चित्र 11 देखें)

चावल। ग्यारह

किसी संख्या द्वारा सदिश के उत्पाद की गणना करना:

किसी सदिश को संख्या λ से गुणा करने पर, अक्ष पर इसके प्रक्षेपण को भी इस संख्या से गुणा किया जाता है, अर्थात पीआर एल (λ* )= λ* पीआर एल ।

प्रमाण: λ > 0 के लिए हमारे पास pr l (λ* )= *cos φ = λ* φ = λ*pr l

जब λl (λ* )= *cos( -φ)=- * (-cosφ) = * cosφ= λ *pr l ।

संपत्ति के लिए भी मान्य है

इस प्रकार, सदिशों पर रैखिक संक्रियाएँ इन सदिशों के प्रक्षेपणों पर संगत रैखिक संक्रियाओं की ओर ले जाती हैं।