Kampinis greitis. Kampinis greitis Linijinis

su tiesinėmis reikšmėmis.

Kampinis judėjimas- vektorinis dydis, apibūdinantis kampinės koordinatės pasikeitimą jo judėjimo procese.

Kampinis greitis- vektorinis fizinis dydis, apibūdinantis kūno sukimosi greitį. Kampinio greičio vektorius yra lygus kūno sukimosi kampui per laiko vienetą:

ir yra nukreiptas išilgai sukimosi ašies pagal įvorės taisyklę, tai yra ta kryptimi, į kurią būtų įsukta įvorė su dešiniuoju sriegiu, jei suktųsi ta pačia kryptimi.

SI ir CGS sistemose priimtas kampinio greičio matavimo vienetas yra radianai per sekundę. (Pastaba: radianas, kaip ir bet kuris kampo matavimo vienetas, yra fiziškai bematis, todėl fizinis kampinio greičio matmuo yra tiesiog ). Technikoje taip pat naudojami apsisukimai per sekundę, daug rečiau – laipsniai per sekundę, laipsniai per sekundę. Galbūt technikoje dažniausiai naudojami apsisukimai per minutę - tai vyksta nuo tų laikų, kai mažo greičio garo variklių sukimosi greitis buvo nustatomas tiesiog „rankiniu būdu“ skaičiuojant apsisukimų skaičių per laiko vienetą.

Bet kurio (absoliučiai) standaus kūno, besisukančio kampiniu greičiu, taško (momentinis) greičio vektorius apibrėžiamas taip:

kur yra spindulio vektorius iki nurodyto taško nuo pradžios, esančios kūno sukimosi ašyje, o laužtiniai skliaustai žymi vektoriaus sandaugą. Taško, esančio tam tikru atstumu (spinduliu) r nuo sukimosi ašies, tiesinį greitį (sutampantį su greičio vektoriaus moduliu) galima laikyti taip: v = rω. Jei vietoj radianų naudojami kiti kampų vienetai, tada paskutinėse dviejose formulėse atsiras daugiklis, kuris nėra lygus vienetui.

Plokščiojo sukimosi atveju, t. y. kai visi kūno taškų greičio vektoriai yra (visada) toje pačioje plokštumoje ("sukimosi plokštuma"), kūno kampinis greitis visada yra statmenas šiai plokštumai, o faktas – jei sukimosi plokštuma žinoma iš anksto – gali būti pakeista skaliare – projekcija į ašį, statmeną sukimosi plokštumai. Šiuo atveju labai supaprastėja sukimosi kinematika, tačiau bendru atveju trimatėje erdvėje kampinis greitis laikui bėgant gali keisti kryptį ir toks supaprastintas vaizdas nepasiteisina.

Kampinio greičio išvestinė laiko atžvilgiu yra kampinis pagreitis.

Judėjimas su pastovaus kampinio greičio vektoriumi vadinamas tolygiu sukimosi judesiu (šiuo atveju kampinis pagreitis lygus nuliui).

Kampinis greitis (laikomas laisvuoju vektoriumi) yra vienodas visose inercinėse atskaitos sistemose, tačiau skirtingose ​​inercinėse atskaitos sistemose to paties konkretaus kūno sukimosi ašis arba centras tuo pačiu laiko momentu gali skirtis (kad yra kitoks kampinio greičio „taškas“).

Vieno taško judėjimo trimatėje erdvėje atveju galite parašyti šio taško kampinio greičio išraišką pasirinktos pradžios atžvilgiu:

Kur yra taško spindulio vektorius (nuo pradžios), yra šio taško greitis. - vektorių sandauga, - vektorių skaliarinė sandauga. Tačiau ši formulė ne vienareikšmiškai nustato kampinį greitį (vieno taško atveju galima pasirinkti kitus pagal apibrėžimą tinkamus vektorius, kitu atveju - savavališkai - pasirenkant sukimosi ašies kryptį), o bendram atvejui. (kai kūnas apima daugiau nei vieną materialųjį tašką) - ši formulė netinka viso kūno kampiniam greičiui (nes kiekvienam taškui suteikiamos skirtingos reikšmės, o sukantis absoliučiai standžiam kūnui pagal apibrėžimą, jo sukimosi kampinis greitis yra vienintelis vektorius). Atsižvelgiant į visa tai, dvimačiu atveju (plokštumos sukimosi atveju) ši formulė yra gana pakankama, nedviprasmiška ir teisinga, nes šiuo konkrečiu atveju sukimosi ašies kryptis yra vienareikšmiškai nustatyta.

Esant tolygiam sukamajam judėjimui (ty judėjimui su pastovaus kampinio greičio vektoriumi), taip besisukančio kūno taškų Dekarto koordinatės atlieka harmoninius virpesius, kurių kampinis (ciklinis) dažnis yra lygus kampinio modulio moduliui. greičio vektorius.

Matuojant kampinį greitį apsisukimais per sekundę (r/s), tolygaus sukimosi judėjimo kampinio greičio modulis yra toks pat kaip sukimosi greitis f, matuojamas hercais (Hz).

(tai yra tokiais vienetais).

Naudojant įprastą fizinį kampinio greičio vienetą - radianus per sekundę - kampinio greičio modulis yra susijęs su sukimosi greičiu taip:

Galiausiai, naudojant laipsnius per sekundę, santykis su RPM būtų toks:

Kampinis pagreitis- pseudovektoriaus fizikinis dydis, apibūdinantis standaus kūno kampinio greičio kitimo greitį.

Kai kūnas sukasi aplink fiksuotą ašį, kampinio pagreičio modulis yra:

Kampinio pagreičio vektorius α nukreiptas išilgai sukimosi ašies (į šoną su pagreitėjusiu sukimu ir priešingai - su lėtu sukimu).

Kai sukasi aplink fiksuotą tašką, kampinio pagreičio vektorius apibrėžiamas kaip pirmoji kampinio greičio vektoriaus ω išvestinė laiko atžvilgiu, tai yra

ir yra nukreiptas tangentiškai į vektoriaus hodografą atitinkamame jo taške.

Yra ryšys tarp tangentinio ir kampinio pagreičio:

čia R yra taško trajektorijos kreivės spindulys tam tikru metu. Taigi kampinis pagreitis yra lygus antrajai sukimosi kampo išvestinei laiko atžvilgiu arba pirmajai kampinio greičio išvestinei laiko atžvilgiu. Kampinis pagreitis matuojamas rad/sek2.

Kampinis greitis ir kampinis pagreitis

Apsvarstykite standųjį kūną, kuris sukasi aplink fiksuotą ašį. Tada atskiri šio kūno taškai apibūdins skirtingo spindulio apskritimus, kurių centrai yra ant sukimosi ašies. Tegul koks nors taškas juda išilgai spindulio apskritimo R(6 pav.). Jos padėtis po kurio laiko D t nustatykite kampą D. Elementarūs (be galo maži) sukimai gali būti laikomi vektoriais (jie žymimi arba ) . Vektoriaus modulis lygus sukimosi kampui, o jo kryptis sutampa su sraigto galo, kurio galvutė sukasi taško judėjimo kryptimi išilgai apskritimo, transliacinio judėjimo kryptimi, t.y. paklūsta dešiniojo varžto taisyklė(6 pav.). Vektoriai, kurių kryptys susietos su sukimosi kryptimi, vadinami pseudovektoriai arba ašiniai vektoriai.Šie vektoriai neturi specifinių taikymo taškų: juos galima nubrėžti iš bet kurio sukimosi ašies taško.

kampinis greitis vadinamas vektoriniu dydžiu, lygiu pirmajai kūno sukimosi kampo išvestinei laiko atžvilgiu:

Vektorius nukreipiamas išilgai sukimosi ašies pagal dešiniojo sraigto taisyklę, t.y. toks pat kaip ir vektorius (7 pav.). Kampinio greičio matmuo dim w =T - 1 , o jo vienetas yra radianas per sekundę (rad/s).

Taškinis tiesinis greitis (žr. 6 pav.)

Vektorinėje formoje linijinio greičio formulė gali būti parašyta kaip kryžminė sandauga:

Šiuo atveju vektorinės sandaugos modulis pagal apibrėžimą yra lygus, o kryptis sutampa su dešiniojo varžto transliacinio judėjimo kryptimi, kai jis sukasi nuo iki R.

Jei ( = const, tada sukimasis yra vienodas ir gali būti apibūdinamas rotacijos laikotarpis T - laikas, kuriam taškas daro vieną pilną apsisukimą, t.y. sukasi 2p kampu. Nuo laiko intervalo D t= T atitinka = 2p, tada = 2p/ T, kur

Visiškų apsisukimų skaičius, kurį kūnas daro tolygiai judėdamas apskritimu per laiko vienetą, vadinamas sukimosi dažniu:

Kampinis pagreitis yra vektorinis dydis, lygus pirmajai kampinio greičio išvestinei laiko atžvilgiu:

Kai kūnas sukasi aplink fiksuotą ašį, kampinio pagreičio vektorius nukreipiamas išilgai sukimosi ašies link elementaraus kampinio greičio prieaugio vektoriaus. Esant pagreitintam judėjimui, vektorius kartu nukreipiamas į vektorių (8 pav.), esant sulėtintam, jis yra priešingas jam (9 pav.).

Tangentinis pagreičio komponentas

Normalus pagreičio komponentas

Taigi, ryšys tarp tiesinio (kelio ilgio s praėjo tašką išilgai spindulio apskritimo lanko R, linijinis greitis v, tangentinis pagreitis , normalus pagreitis ) ir kampiniai dydžiai (sukimosi kampas j, kampinis greitis w, kampinis pagreitis e) išreiškiami šiomis formulėmis:

Esant tolygiai kintamam taško judėjimui išilgai apskritimo (e=const)

kur w 0 yra pradinis kampinis greitis.

Niutono dėsniai.

Pirmasis Niutono dėsnis. Svoris. Stiprumas

Dinamika yra pagrindinė mechanikos šaka, ji remiasi trimis Niutono dėsniais, jo suformuluotais 1687 m. Niutono dėsniai vaidina išskirtinį vaidmenį mechanikoje ir yra (kaip ir visi fiziniai dėsniai) apibendrina didžiulės žmogaus patirties rezultatus. Jie laikomi tarpusavyje susijusių įstatymų sistema ir ne kiekvienas dėsnis yra eksperimentiškai tikrinamas, o visa sistema kaip visuma.

Pirmasis Niutono dėsnis: bet kuris materialus taškas (kūnas) išlaiko ramybės būseną arba tolygų tiesinį judėjimą tol, kol kitų kūnų smūgis priverčia šią būseną pakeisti. Kūno noras išlaikyti ramybės būseną arba tolygų tiesinį judėjimą vadinamas inercija. Todėl pirmasis Niutono dėsnis taip pat vadinamas inercijos dėsnis.

Mechaninis judėjimas yra santykinis ir jo pobūdis priklauso nuo atskaitos sistemos. Pirmasis Niutono dėsnis negalioja jokioje atskaitos sistemoje ir vadinamos tos sistemos, kurių atžvilgiu jis vykdomas inercinės atskaitos sistemos. Inercinė atskaitos sistema yra tokia atskaitos sistema, kurios atžvilgiu materialus taškas, be išorinių poveikių, arba ramybės būsenoje, arba judant tolygiai ir tiesia linija. Pirmasis Niutono dėsnis teigia, kad egzistuoja inercinės atskaitos sistemos.

Eksperimentiškai nustatyta, kad heliocentrinę (žvaigždžių) atskaitos sistemą galima laikyti inercine (koordinačių pradžia yra Saulės centre, o ašys nubrėžtos tam tikrų žvaigždžių kryptimi). Su Žeme siejama atskaitos sistema, griežtai kalbant, yra neinercinė, tačiau jos neinerciškumo (Žemė sukasi aplink savo ašį ir aplink Saulę) poveikis yra nereikšmingas sprendžiant daugelį problemų, ir tokiais atvejais jis gali būti laikomas inerciniu.

Iš patirties žinoma, kad vienodai veikiant skirtingi kūnai nevienodai keičia savo judėjimo greitį, t.y., kitaip tariant, įgyja skirtingus pagreičius. Pagreitis priklauso ne tik nuo smūgio dydžio, bet ir nuo paties kūno savybių (nuo jo masės).

Svoris kūnai – fizinis dydis, kuris yra viena iš pagrindinių materijos savybių, lemiančių jos inerciją ( inercinė masė) ir gravitacinis ( gravitacinė masė) savybės. Šiuo metu galima laikyti įrodytu, kad inercinės ir gravitacinės masės yra lygios viena kitai (ne mažesniu kaip 10–12 jų reikšmių tikslumu).

Pirmajame Niutono dėsnyje minimiems poveikiams apibūdinti įvedama jėgos sąvoka. Veikiant jėgoms kūnai arba keičia savo judėjimo greitį, t.y. įgyja pagreičių (dinaminis jėgų pasireiškimas), arba deformuojasi, t.y., keičia savo formą ir matmenis (statinis jėgų pasireiškimas). Kiekvienu laiko momentu jėga apibūdinama skaitine verte, kryptimi erdvėje ir taikymo tašku. Taigi, stiprumas- tai vektorinis dydis, kuris yra kitų kūnų ar laukų mechaninio poveikio kūnui matas, dėl kurio kūnas įgauna pagreitį arba keičia savo formą ir dydį.

Antrasis Niutono dėsnis

Antrasis Niutono dėsnis - Pagrindinis transliacinio judėjimo dinamikos dėsnis - atsako į klausimą, kaip keičiasi materialaus taško (kūno) mechaninis judėjimas veikiant jį veikiančioms jėgoms.

Jei atsižvelgsime į skirtingų jėgų poveikį tam pačiam kūnui, paaiškėja, kad kūno įgaunamas pagreitis visada yra tiesiogiai proporcingas taikomų jėgų rezultatui:

a~f(t=konst.). (6.1)

Tai pačiai jėgai veikiant skirtingos masės kūnus, jų pagreičiai būna skirtingi, būtent

a ~ 1 /t (F= const). (6.2)

Naudodami (6.1) ir (6.2) išraiškas ir atsižvelgdami į tai, kad jėga ir pagreitis yra vektoriniai dydžiai, galime parašyti

a = kF/m. (6.3)

Santykis (6.3) išreiškia antrąjį Niutono dėsnį: materialaus taško (kūno) įgytas pagreitis, proporcingas jį sukeliančiai jėgai, sutampa su juo kryptimi ir yra atvirkščiai proporcingas materialaus taško (kūno) masei.

SI, proporcingumo koeficientas k= 1. Tada

(6.4)

Atsižvelgiant į tai, kad materialaus taško (kūno) masė klasikinėje mechanikoje yra pastovi reikšmė, (6.4) išraiškoje ji gali būti paženklinta išvestinės ženklu:

Vektoriaus kiekis

skaitine prasme lygi materialaus taško masės ir jo greičio sandaugai ir turinti greičio kryptį, vadinama impulsas (impulsas)šis materialus taškas.

Pakeitę (6.6) į (6.5), gauname

Ši išraiška - bendresnė antrojo Niutono dėsnio formuluotė: materialaus taško impulso kitimo greitis yra lygus jį veikiančiai jėgai. Išraiška (6.7) vadinama materialaus taško judėjimo lygtis.

Jėgos vienetas SI - niutonas(N): 1 N yra jėga, kuri suteikia 1 kg masei 1 m/s 2 pagreitį jėgos kryptimi:

1 N \u003d 1 kg × m / s 2.

Antrasis Niutono dėsnis galioja tik inercinėse atskaitos sistemose. Pirmasis Niutono dėsnis gali būti išvestas iš antrojo. Iš tiesų, jei gaunamoji jėga lygi nuliui (nesant kitų kūnų įtakos kūnui), pagreitis (žr. (6.3)) taip pat yra lygus nuliui. Tačiau Pirmasis Niutono dėsnis laikomas nepriklausoma teisė(o ne antrojo dėsnio pasekmė), nes būtent jis teigia, kad egzistuoja inercinės atskaitos sistemos, kuriose tenkinama tik (6.7) lygtis.

Mechanikoje didelę reikšmę Tai turi pajėgų veikimo nepriklausomumo principas: jei kelios jėgos vienu metu veikia materialųjį tašką, tai kiekviena iš šių jėgų materialiam taškui suteikia pagreitį pagal antrąjį Niutono dėsnį, tarsi kitų jėgų nebūtų. Pagal šį principą jėgos ir pagreičiai gali būti suskaidomi į komponentus, kurių panaudojimas žymiai supaprastina problemų sprendimą. Pavyzdžiui, pav. 10 veikianti jėga F= m a yra padalinta į du komponentus: tangentinę jėgą F t , (nukreiptą liestinei trajektorijai) ir normaliąją jėgą F n(nukreiptas išilgai normalaus į kreivio centrą). Naudojant posakius ir , taip pat , tu gali rašyti:

Jeigu materialųjį tašką vienu metu veikia kelios jėgos, tai pagal jėgų veikimo nepriklausomumo principą antrajame Niutono dėsnyje F suprantama kaip atsirandanti jėga.

Trečiasis Niutono dėsnis

Sąveiką tarp materialių taškų (kūnų) lemia Trečiasis Niutono dėsnis: bet koks materialių taškų (kūnų) veikimas vienas kitam turi sąveikos pobūdį; Jėgos, kuriomis materialūs taškai veikia vienas kitą, visada yra lygios absoliučia verte, nukreiptos priešingai ir veikia išilgai tiesės, jungiančios šiuos taškus:

F 12 = - F 21, (7.1)

čia F 12 yra jėga, veikianti pirmąjį materialųjį tašką iš antrojo;

F 21 - jėga, veikianti antrąjį materialųjį tašką nuo pirmojo. Šios jėgos taikomos skirtinga materialūs taškai (kūnai), visada veikti poromis ir yra jėgos viena prigimtis.

Trečiasis Niutono dėsnis leidžia pereiti nuo dinamikos atskirti medžiaga rodo dinamiką sistemos materialūs taškai. Tai išplaukia iš to, kad materialių taškų sistemoje sąveika redukuojama iki poros sąveikos tarp materialių taškų jėgų.

Elementarus sukimosi kampas, kampinis greitis

9 pav. Pradinis sukimosi kampas ()

Elementarieji (be galo maži) sukimai traktuojami kaip vektoriai. Vektoriaus modulis yra lygus sukimosi kampui, o jo kryptis sutampa su varžto antgalio, kurio galvutė sukasi taško judėjimo kryptimi išilgai apskritimo, judėjimo kryptimi, tai yra , jis paklūsta dešiniojo varžto taisyklei.

Kampinis greitis

Vektorius nukreipiamas išilgai sukimosi ašies pagal dešiniojo sraigto taisyklę, t.y., taip pat kaip ir vektorius (žr. 10 pav.).

10 pav.

11 pav

Vektoriaus reikšmė, nustatoma pagal pirmąją kūno sukimosi kampo išvestinę laiko atžvilgiu.

Tiesinio ir kampinio greičio modulių ryšys

12 pav

Tiesinio ir kampinio greičio vektorių ryšys

Nagrinėjamo taško padėtį suteikia spindulio vektorius (nubrėžtas iš 0 pradžios, esančios sukimosi ašyje). Vektoriaus sandauga sutampa su vektoriumi ir turi modulį, lygų

Kampinio greičio vienetas yra.

Pseudovektoriai (ašiniai vektoriai) yra vektoriai, kurių kryptys yra susietos su sukimosi kryptimi (pavyzdžiui,). Šie vektoriai neturi specifinių taikymo taškų: juos galima nubrėžti iš bet kurio sukimosi ašies taško.

Tolygus materialaus taško judėjimas išilgai apskritimo

Tolygus judėjimas apskritime – judėjimas, kai materialus taškas (kūnas) vienodo ilgio apskritimo lankus kerta vienodai.

Kampinis greitis

: (-- sukimosi kampas).

Sukimosi periodas T yra laikas, per kurį materialusis taškas padaro vieną pilną apsisukimą aplink perimetrą, t.y. sukasi kampu.

Kadangi jis atitinka laiko intervalą, tada.

Sukimosi dažnis – pilnų apsisukimų skaičius, kurį per laiko vienetą padaro materialus taškas, vienodai judėdamas apskritimu.

13 pav

Būdingas tolygaus judėjimo ratu požymis

Vienodas sukamasis judėjimas yra ypatingas kreivinio judėjimo atvejis. Judėjimas apskritimu su greičio konstanta modulo () pagreitėja. Taip yra dėl to, kad esant pastoviam moduliui, greičio kryptis visą laiką kinta.

Materialaus taško, vienodai judančio apskritimu, pagreitis

Tangentinis pagreičio komponentas ties vienodas judesys taškai aplink apskritimą yra lygūs nuliui.

Normalioji pagreičio dedamoji (centripetalinis pagreitis) nukreipta išilgai spindulio apskritimo centro link (žr. 13 pav.). Bet kuriame apskritimo taške normalus pagreičio vektorius yra statmenas greičio vektoriui. Materialaus taško, tolygiai judančio apskritimu bet kuriame jo taške, pagreitis yra įcentrinis.

kampinis pagreitis. Tiesinių ir kampinių dydžių ryšys

Kampinis pagreitis yra vektorinis dydis, nustatomas pagal pirmąją kampinio greičio išvestinę laiko atžvilgiu.

Kampinio pagreičio vektoriaus kryptis

Kai kūnas sukasi aplink fiksuotą ašį, kampinio pagreičio vektorius nukreipiamas išilgai sukimosi ašies link elementaraus kampinio greičio prieaugio vektoriaus.

Esant pagreitintam judėjimui, vektorius sulygiuotas su vektoriumi, o lėtai judant – priešingas jam. Vektorius yra pseudovektorius.

Kampinio pagreičio vienetas yra.

Tiesinių ir kampinių dydžių ryšys

(-- apskritimo spindulys; - tiesinis greitis; - tangentinis pagreitis; - normalusis pagreitis; - kampinis greitis).

Eulerio kampai, orlaivių (laivų) kampai.

Tradiciškai Eulerio kampai įvedami taip. Perėjimas iš atskaitos padėties į tikrąją atliekamas trimis posūkiais (4.3 pav.):

1. Pasukite už kampo precesija Tuo pačiu metu jis pereina į padėtį (c) .

2. Pasukite už kampo nutacija. Kuriame,. (4.10)

4. Pasukite už kampo nuosava (grynoji) sukimasis

Kad būtų geriau suprasti, 4.4 pav. parodyta viršūnė ir ją apibūdinantys Eulerio kampai

1. Pasukite už kampo pakrypti, kuriame

2. Pasukite aplink žingsnio kampą, o (4.12)

3. Apverskite kampą

Posakis „galima padaryti“ nėra atsitiktinis; nesunku suprasti, kad galimi ir kiti variantai, pavyzdžiui, sukimai aplink fiksuotas ašis

1. Pasukite už kampo ritinys(kyla pavojus sulaužyti sparnus)

2. Pasukite už kampo pikis(„nosies pakėlimas“) (4.13)

3. Pasukite kampu pakrypti

Tačiau (4.12) ir (4.13) tapatumas taip pat turi būti įrodytas.

Parašykime bet kurio taško padėties vektoriaus akivaizdžią vektorinę formulę (4.6 pav.) matricine forma. Raskite vektoriaus koordinates atskaitos pagrindo atžvilgiu. Išplėskime vektorių pagal faktinį pagrindą ir įveskime „perkeltą“ vektorių, kurio koordinatės atskaitos bazėje yra lygios vektoriaus koordinatėms faktinėje; kitaip tariant, - kartu su kūnu „pasukotas“ vektorius (4.6 pav.).

Pristatome sukimosi matricą ir stulpelius,

Vektorinė formulė matricos žymėjime turi formą

1. Sukimosi matrica yra ortogonali, t.y.

Šio teiginio įrodymas yra formulė (4.9)

Apskaičiavę sandaugos determinantą (4.15), gauname ir kadangi atskaitos padėtyje, tada (stačiakampės matricos, kurių determinantas lygus (+1) vadinamos iš tikrųjų stačiakampės arba sukimosi matricos). Sukimosi matrica, padauginta iš vektorių, nekeičia nei vektorių ilgių, nei kampų tarp jų, t.y. tikrai juos posūkiai.

2. Sukimosi matrica turi vieną savąjį vektorių (fiksuotą), kuris apibrėžia sukimosi ašį. Kitaip tariant, reikia parodyti, kad lygčių sistema kur turi unikalų sprendimą. Sistemą rašome forma (. Šios vienalytės sistemos determinantas lygus nuliui, kadangi

taigi sistema turi nulinį sprendimą. Darant prielaidą, kad yra du sprendiniai, iškart prieiname prie išvados, kad jiems statmenas irgi yra sprendinys (kampai tarp vektorių nekinta), vadinasi, t.y. jokio posūkio..

Matrica ortonormaliu pagrindu

turi išvaizdą.

2. Diferencijuodami (4.15), gauname arba, žymėdami - matricą atgal (angl. suktis – suktis). Taigi sukimosi matrica yra simetriška: . Padauginus iš dešinės iš, gauname Puasono formulę sukimosi matricai:

Priėjome patį sunkiausią matricos aprašymo momentą – kampinio greičio vektoriaus nustatymą.

Žinoma, galite veikti standartiniu būdu (žr., pavyzdžiui, metodą ir parašykite: „ pristatome pasvirosios simetrinės matricos elementų žymėjimą S pagal formulę

Jei padarysime vektorių , tada matricos padauginimo iš vektoriaus rezultatas gali būti pavaizduotas kaip kryžminė sandauga“. Aukščiau pateiktoje citatoje - kampinio greičio vektorius.

Diferencijuodami (4.14), gauname standaus kūno kinematikos pagrindinės formulės matricinį vaizdą :

Matricinis metodas, patogus skaičiavimams, labai mažai tinka ryšiams analizuoti ir išvesti; bet kurią formulę, parašytą vektoriaus ir tenzoriaus kalba, galima lengvai parašyti matricos forma, tačiau norint gauti kompaktišką ir išraiškingą formulę bet kuriai apibūdinti fizinis reiškinys matricos formoje yra sunku.

Be to, nereikėtų pamiršti, kad matricos elementai tam tikru pagrindu yra tenzoriaus koordinatės (komponentai). Pats tenzorius nepriklauso nuo pagrindo pasirinkimo, bet jo komponentai priklauso. Norint rašyti be klaidų matricos forma, būtina, kad visi vektoriai ir tenzoriai, įtraukti į išraišką, būtų parašyti tuo pačiu pagrindu, ir tai ne visada patogu, nes skirtingi tenzoriai turi „paprastą“ formą skirtingose ​​bazėse, todėl reikia perskaičiuoti matricas naudojant pereinamąsias matricas .

Išsiplėtusio kūno, kurio matmenys negali būti ignoruojami nagrinėjamos problemos sąlygomis, judėjimas. Kūnas bus laikomas nedeformuojančiu, kitaip tariant, absoliučiai standžiu.

Judėjimas, kuriame bet koks su judančiu kūnu sujungta tiesė lieka lygiagreti pačiam sau, vadinama progresyvus.

Tiesi linija „standžiai sujungta su kūnu“ suprantama kaip tokia tiesė, kurios atstumas nuo bet kurio taško iki bet kurio kūno taško išlieka pastovus jai judant.

Absoliučiai standaus kūno transliacinį judėjimą galima apibūdinti bet kurio šio kūno taško judesiu, nes transliaciniame judesyje visi kūno taškai juda vienodais greičiais ir pagreičiais, o jų judėjimo trajektorijos yra kongruentinės. Nustatę bet kurio standaus kūno taško judėjimą, tuo pačiu nustatysime ir visų kitų jo taškų judėjimą. Todėl, aprašant transliacinį judėjimą, nekyla jokių naujų problemų, palyginti su materialaus taško kinematika. Transliacinio judėjimo pavyzdys parodytas fig. 2.20.

2.20 pav. Transliacinis kūno judėjimas

Transliacinio judesio pavyzdys parodytas šiame paveikslėlyje:

2.21 pav. Plokščias kūno judėjimas

Kitas svarbus konkretus standaus kūno judėjimo atvejis yra judėjimas, kai du kūno taškai lieka nejudantys.

Vadinamas judesys, kai du kūno taškai lieka nejudantys sukimasis aplink fiksuotą ašį.

Šiuos taškus jungianti linija taip pat yra fiksuota ir vadinama sukimosi ašis.

2.22 pav. Standaus kūno sukimasis

Tokiu judesiu visi kūno taškai juda išilgai apskritimų, esančių plokštumose, statmenose sukimosi ašiai. Apskritimų centrai yra ant sukimosi ašies. Tokiu atveju sukimosi ašis taip pat gali būti už kūno ribų.

Vaizdo įrašas 2.4. Transliaciniai ir sukamieji judesiai.

Kampinis greitis, kampinis pagreitis. Kai kūnas sukasi aplink ašį, visi jo taškai apibūdina skirtingų spindulių apskritimus, todėl jų poslinkiai, greičiai ir pagreičiai skiriasi. Tačiau visų kūno taškų sukamąjį judėjimą galima apibūdinti vienodai. Tam naudojamos kitos (lyginant su materialiu tašku) kinematinės judėjimo charakteristikos - sukimosi kampas, kampinis greitis, kampinis pagreitis.

Ryžiai. 2.23. Taško, judančio apskritimu, pagreičio vektoriai

Poslinkio vaidmenį sukamajame judesyje atlieka mažas posūkio vektorius, aplink sukimosi ašį 00" (2.24 pav.). Tai bus vienoda bet kuriame taške visiškai kietas korpusas(pavyzdžiui, taškai 1, 2, 3 ).

Ryžiai. 2.24. Tobulai standaus kūno sukimasis apie fiksuotą ašį

Sukimosi vektoriaus modulis lygus sukimosi kampo reikšmei, ir kampas matuojamas radianais.

Be galo mažo sukimosi išilgai sukimosi ašies vektorius nukreiptas į dešiniojo sraigto (įvorės), sukamo ta pačia kryptimi kaip ir kūnas, judėjimą.

Vaizdo įrašas 2.5. Galutiniai kampiniai poslinkiai nėra vektoriai, nes jie nesumuojami pagal lygiagretainio taisyklę. Be galo maži kampiniai poslinkiai yra vektoriai.

Vektoriai, kurių kryptys yra susietos su gimleto taisykle, vadinami ašinis(iš anglų kalbos. ašį- ašis), o ne poliarinis. vektoriai, kuriuos naudojome anksčiau. Poliariniai vektoriai yra, pavyzdžiui, spindulio vektorius, greičio vektorius, pagreičio vektorius ir jėgos vektorius. Ašiniai vektoriai taip pat vadinami pseudovektoriais, nes jie skiriasi nuo tikrųjų (polinių) vektorių savo elgesiu atspindžio operacijos metu veidrodyje (inversija arba, kas yra tas pats, perėjimas iš dešinės į kairę koordinačių sistemą). Galima parodyti (tai bus padaryta vėliau), kad be galo mažų sukimų vektorių pridėjimas vyksta taip pat, kaip ir tikrųjų vektorių pridėjimas, tai yra pagal lygiagretainio (trikampio) taisyklę. Todėl jei neatsižvelgiama į atspindžio operaciją veidrodyje, tai skirtumas tarp pseudovektorių ir tikrųjų vektorių niekaip nepasireiškia ir galima ir būtina juos traktuoti kaip su įprastais (tikraisiais) vektoriais.

Be galo mažo sukimosi vektoriaus ir laiko, per kurį įvyko šis sukimas, santykis

paskambino kampinis sukimosi greitis.

Pagrindinis kampinio greičio matavimo vienetas yra rad/s. Spausdintuose leidiniuose dėl priežasčių, nesusijusių su fizika, jie dažnai rašo 1/s arba nuo -1 kuri, griežtai tariant, yra klaidinga. Kampas yra bematis dydis, tačiau jo matavimo vienetai yra skirtingi (laipsniai, rumbai, gradai...) ir jie turi būti nurodyti, kad būtų išvengta nesusipratimų.

Vaizdo įrašas 2.6. Stroboskopinis efektas ir jo naudojimas nuotoliniam sukimosi kampinio greičio matavimui.

Kampinis greitis, kaip ir vektorius, kuriam jis yra proporcingas, yra ašinis vektorius. Kai sukasi aplinkui nejudėdamas ašies kampinis greitis nekeičia savo krypties. Tolygiai sukantis, jo reikšmė taip pat išlieka pastovi, todėl vektorius . Esant pakankamam kampinio greičio vertės pastovumui laike, sukimąsi galima patogiai apibūdinti jo periodu T :

Rotacijos laikotarpis- tai laikas, per kurį kūnas daro vieną apsisukimą (pasisuka 2π kampu) aplink sukimosi ašį.

Žodžiai „pakankamas pastovumas“ akivaizdžiai reiškia, kad per laikotarpį (vieno apsisukimo laiką) kampinio greičio modulis pasikeičia nežymiai.

Taip pat dažnai naudojamas apsisukimų skaičius per laiko vienetą

Tuo pačiu metu techniniuose pritaikymuose (pirmiausia visų rūšių varikliuose) įprasta laiko vienetu imti ne sekundę, o minutę. Tai reiškia, kad sukimosi kampinis greitis nurodomas apsisukimais per minutę. Kaip matote, santykis tarp (radianais per sekundę) ir (apsukimų per minutę) yra toks

Kampinio greičio vektoriaus kryptis parodyta fig. 2.25.

Pagal analogiją su tiesiniu pagreičiu kampinis pagreitis įvedamas kaip kampinio greičio vektoriaus kitimo greitis. Kampinis pagreitis taip pat yra ašinis vektorius (pseudovektorius).

Kampinis pagreitis – ašinis vektorius, apibrėžiamas kaip kampinio greičio laiko išvestinė

Sukant apie fiksuotą ašį, apskritai, kai sukasi apie ašį, kuri lieka lygiagreti sau, kampinio greičio vektorius taip pat nukreipiamas lygiagrečiai sukimosi ašiai. Padidėjus kampinio greičio vertei || kampinis pagreitis sutampa su juo kryptimi, o mažėjantis - nukreipiamas priešinga kryptimi. Pabrėžiame, kad tai tik ypatingas sukimosi ašies krypties nekintamumo atvejis, bendruoju atveju (sukimasis aplink tašką) sukasi pati sukimosi ašis ir tada aukščiau minėta netiesa.

Kampinių ir tiesinių greičių ir pagreičių ryšys. Kiekvienas besisukančio kūno taškas juda tam tikru tiesiniu greičiu, nukreiptu tangentiškai į atitinkamą apskritimą (žr. 19 pav.). Tegul medžiagos taškas sukasi aplink ašį 00" aplink apskritimą, kurio spindulys R. Nedidelį laiką jis praeis taku, atitinkančiu sukimosi kampą. Tada

Pereinant prie ribos gauname besisukančio kūno taško tiesinio greičio modulio išraišką.

Prisiminkite čia R- atstumas nuo svarstomo kūno taško iki sukimosi ašies.

Ryžiai. 2.26.

Kadangi normalus pagreitis yra

tada, atsižvelgdami į kampinio ir tiesinio greičio ryšį, gauname

Įprastas besisukančio standaus kūno taškų pagreitis dažnai vadinamas įcentrinis pagreitis.

Atskirdami laiko atžvilgiu išraišką , randame

kur yra taško, judančio išilgai apskritimo spinduliu, tangentinis pagreitis R.

Taigi, tiek tangentinis, tiek normalus pagreičiai auga tiesiškai, didėjant spinduliui R- atstumas nuo sukimosi ašies. Bendras pagreitis taip pat tiesiškai priklauso nuo R :

Pavyzdys. Raskime tiesinį greitį ir įcentrinį pagreitį taškų, esančių žemės paviršiuje ties pusiauju ir Maskvos platumose ( = 56°). Žinome Žemės sukimosi aplink savo ašį periodą T \u003d 24 valandos \u003d 24x60x60 \u003d 86 400 s. Iš čia yra kampinis sukimosi greitis

Žemės vidutinis spindulys

Atstumas iki sukimosi ašies platumoje yra

Iš čia randame tiesinį greitį

ir įcentrinis pagreitis

Esant pusiaujui = 0, cos = 1, todėl

Maskvos platumoje cos = cos 56° = 0,559 ir gauname:

Matome, kad Žemės sukimosi įtaka nėra tokia didelė: įcentrinio pagreičio ties pusiauju ir laisvojo kritimo pagreičio santykis yra

Tačiau, kaip matysime vėliau, Žemės sukimosi padariniai yra gana pastebimi.

Tiesinio ir kampinio greičio vektorių ryšys. Aukščiau gautų kampinių ir tiesinių greičių ryšiai parašyti vektorių ir moduliams. Norėdami parašyti šiuos ryšius vektorine forma, naudojame vektorinės sandaugos sąvoką.

Leisti 0z- absoliučiai standaus kūno sukimosi ašis (2.28 pav.).

Ryžiai. 2.28. Tiesinio ir kampinio greičio vektorių ryšys

Taškas BET sukasi aplink apskritimą, kurio spindulys R. R- atstumas nuo sukimosi ašies iki svarstomo kūno taško. Paimkime tašką 0 dėl koordinačių pradžios. Tada

ir nuo tada

tada pagal vektorinės sandaugos apibrėžimą visiems kūno taškams

Čia yra kūno taško spindulio vektorius, prasidedantis taške O, esantis savavališkai fiksuotoje vietoje, būtinai ant sukimosi ašies

Bet iš kitos pusės

Pirmasis narys yra lygus nuliui, nes kolinearinių vektorių vektorinė sandauga yra lygi nuliui. Vadinasi,

kur vektorius R yra statmenas sukimosi ašiai ir nukreiptas nuo jos, o jo modulis lygus apskritimo, kuriuo juda materialus taškas, spinduliui ir šis vektorius prasideda šio apskritimo centre.

Ryžiai. 2.29. Prie momentinės sukimosi ašies apibrėžimo

Normalus (centripetalinis) pagreitis taip pat gali būti parašytas kaip vektorinė forma:

o ženklas „-“ rodo, kad jis nukreiptas į sukimosi ašį. Atskirdami tiesinio ir kampinio greičio santykį laiko atžvilgiu, randame viso pagreičio išraišką

Pirmasis narys yra nukreiptas tangentiškai į besisukančio kūno taško trajektoriją ir jo modulis yra , nes

Lyginant su tangentinio pagreičio išraiška, darome išvadą, kad tai yra tangentinio pagreičio vektorius

Todėl antrasis narys yra normalus to paties taško pagreitis:

Iš tiesų, jis nukreiptas išilgai spindulio R prie sukimosi ašies ir jos modulis lygus

Todėl šis normalaus pagreičio santykis yra kita anksčiau gautos formulės rašymo forma.

Papildoma informacija

http://www.plib.ru/library/book/14978.html - Sivukhin D.V. Bendrasis fizikos kursas, 1 tomas, Mechanika Red. Science 1979 - p. 242–243 (§46, p. 7): aptariamas gana sunkiai suprantamas klausimas apie standaus kūno kampinių sukimų vektorinę prigimtį;

http://www.plib.ru/library/book/14978.html - Sivukhin D.V. Bendrasis fizikos kursas, 1 tomas, Mechanika Red. Mokslas 1979 - p. 233–242 (§45, §46 p. 1–6): momentinė standaus kūno sukimosi ašis, sukimų pridėjimas;

http://kvant.mirror1.mccme.ru/1990/02/kinematika_basketbolnogo_brosk.html – žurnalas „Kvant“ – krepšinio metimų kinematika (R. Vinokur);

http://kvant.mirror1.mccme.ru/ - Žurnalas „Kvant“, 2003, Nr. 6, - p. 5–11, standaus kūno momentinių greičių laukas (S. Krotovas);

Apskritime nustatomas spindulio vektorius $ \overrightarrow (r)$, nubrėžtas iš apskritimo centro. Spindulio vektoriaus modulis lygus apskritimo spinduliui R (1 pav.).

1 pav. Spindulio vektorius, poslinkis, kelias ir sukimosi kampas, kai taškas juda išilgai apskritimo

Tuo pačiu metu kūno judėjimą išilgai apskritimo galima vienareikšmiškai apibūdinti naudojant tokias kinematinės charakteristikos kaip sukimosi kampas, kampinis greitis ir kampinis pagreitis.

Per laiką ∆t kūnas, judėdamas iš taško A į tašką B, padaro poslinkį $\trikampis r$, lygus stygai AB, ir eina taku, lygiu lanko ilgiui l. Spindulio vektorius pasukamas kampu ∆$ \varphi $.

Sukimosi kampą galima apibūdinti kampinio poslinkio vektoriumi $d\overrightarrow((\mathbf \varphi ))$, kurio modulis lygus sukimosi kampui ∆$ \varphi $, o kryptis sutampa su sukimosi ašį, ir taip, kad sukimosi kryptis atitiktų dešiniojo sraigto taisyklę pagal vektoriaus $d\overrightarrow((\mathbf \varphi ))$ kryptį.

Vektorius $d\overrightarrow((\mathbf \varphi ))$ vadinamas ašiniu vektoriumi (arba pseudovektoriu), o poslinkio vektorius $\triangle \overrightarrow(r)$ yra polinis vektorius (jie taip pat apima greitį ir pagreičio vektoriai) . Jie skiriasi tuo, kad polinis vektorius, be ilgio ir krypties, turi taikymo tašką (polius), o ašinis vektorius turi tik ilgį ir kryptį (ašis – lotyniškai ašimi), bet neturi taikymo taško. Šio tipo vektoriai dažnai naudojami fizikoje. Tai apima, pavyzdžiui, visus vektorius, kurie yra dviejų polinių vektorių sandauga.

Skaliarinis fizinis dydis, skaitiniu būdu lygus spindulio vektoriaus sukimosi kampo ir laiko intervalo, per kurį įvyko šis sukimasis, santykiui, vadinamas vidutiniu kampiniu greičiu: $\left\langle \omega \right\rangle =\frac(\ trikampis \varphi )(\trikampis t)$. Kampinio greičio SI vienetas yra radianas per sekundę $(\frac (rad) (c))$.

Apibrėžimas

Kampinis sukimosi greitis yra vektorius, skaitiniu požiūriu lygus pirmajai kūno sukimosi kampo išvestinei laiko atžvilgiu ir nukreiptas išilgai sukimosi ašies pagal dešiniojo sraigto taisyklę:

\[\overrightarrow((\mathbf \omega ))\left(t\right)=(\mathop(lim)_(\triangle t\to 0) \frac(\triangle (\mathbf \varphi ))(\triangle t)=\frac(d\overrightarrow((\mathbf \varphi )))(dt)\ )\]

Tolygiai judant išilgai apskritimo, kampinis greitis ir tiesinio greičio modulis yra pastovios vertės: $(\mathbf \omega )=const$; $v=const$.

Atsižvelgdami į tai, kad $\triangle \varphi =\frac(l)(R)$, gauname tiesinio ir kampinio greičio ryšio formulę: $\omega =\frac(l)(R\triangle t)=\frac( v)(R)$. Kampinis greitis taip pat susijęs su normaliu pagreičiu: $a_n=\frac(v^2)(R)=(\omega )^2R$

Netolygiam apskritam judėjimui kampinio greičio vektorius yra vektorinė laiko funkcija $\overrightarrow(\omega )\left(t\right)=(\overrightarrow(\omega ))_0+\overrightarrow(\varepsilon )\left( t\right) t$, kur $(\overrightarrow((\mathbf \omega )))_0$ yra pradinis kampinis greitis, $\overrightarrow((\mathbf \varepsilon ))\left(t\right)$ yra kampinis pagreitis. Vienodo judėjimo atveju $\left|\overrightarrow((\mathbf \varepsilon ))\left(t\right)\right|=\varepsilon =const$ ir $\left|\overrightarrow((\mathbf \ omega ) )\left(t\right)\right|=\omega \left(t\right)=(\omega )_0+\varepsilon t$.

Apibūdinkite besisukančio standaus kūno judėjimą tais atvejais, kai kampinis greitis kinta pagal 1 ir 2 grafikus, parodytus 2 pav.

2 pav.

Sukimas vyksta dviem kryptimis - pagal laikrodžio rodyklę ir prieš laikrodžio rodyklę. Sukimosi kryptis siejama su sukimosi kampo ir kampinio greičio pseudovektoriumi. Tegul sukimosi kryptis laikoma teigiama kaip pagal laikrodžio rodyklę.

1 judesio kampinis greitis didėja, bet kampinis pagreitis $\varepsilon $=d$\omega $/dt (darinė) mažėja, o išlieka teigiamas. Todėl šis judėjimas pagreitinamas pagal laikrodžio rodyklę mažėjant pagreičio dydžiui.

2 judesio kampinis greitis mažėja, tada susikirtimo su abscisių ašimi taške pasiekia nulį, tada tampa neigiamas ir padidėja absoliuti vertė. Kampinis pagreitis yra neigiamas ir mažėja absoliučia verte. Taigi iš pradžių taškas lėtai judėjo pagal laikrodžio rodyklę mažėjant moduliui kampinis pagreitis, sustojo ir pradėjo greitai suktis mažėjant pagreičio moduliui.

Raskite besisukančio rato spindulį R, jei žinoma, kad taško, esančio ant ratlankio, tiesinis greitis $v_1$ yra 2,5 karto didesnis už taško, esančio $r = 5 cm$ atstumu, linijinį greitį $v_2$ arčiau rato ašies.

3 pav

$$R_2 = R_1 – 5$$ $$v_1 = 2,5v_2$$ $$R_1 = ?$$

Taškai juda koncentriniais apskritimais, jų kampinio greičio vektoriai lygūs, $\left|(\overrightarrow(\omega ))_1\right|=\left|(\overrightarrow(\omega ))_2\right|=\omega $ , todėl galima parašyti skaliarine forma:

Atsakymas: rato spindulys R = 8,3 cm