Določite kot med črtami. Poglejte, kaj je "kot" v drugih slovarjih. Računanje produkta vektorja s številom
Sestavljen je iz dveh različnih žarkov, ki prihajata iz iste točke. Žarki so poklicali strani U. in njihov skupni začetek - vrh U. Naj [ VA),[sonce) -
kotne stranice, V - njeno oglišče je ravnina, ki jo določata stranice U. Lik deli ravnino na dva lika Slika 
i==l, 2, imenovan tudi. U. ali ravni kot, imenovan. notranji del ravnega U.
Dva vogala. enake (ali skladne), če jih je mogoče združiti tako, da njune ustrezne stranice in oglišča sovpadajo. Iz katerega koli žarka na ravnini v določeni smeri od nje lahko ločimo edinstven žarek, ki je enak danemu žarku.Primerjava žarka poteka na dva načina. Če točko obravnavamo kot par žarkov s skupnim izvorom, potem je treba za razjasnitev vprašanja, katera od obeh točk je večja, združiti točke točke in en par njihovih strani v istem ravnino (glej sliko 1). Če se druga stran enega U. izkaže, da se nahaja znotraj drugega U., potem pravijo, da je prvi U. manjši od drugega. Drugi način primerjanja U. temelji na primerjavi vsakega U. z določenim številom. Enak U. bo ustrezal enakim stopinjam ali (glej spodaj), večji U. - večje število, manjši - manjši.
Dva U. naz. sosednji, če imata skupno oglišče in eno stran, drugi dve stranici pa tvorita ravno črto (glej sliko 2). Na splošno je U., ki ima skupni vrh in eno skupno stran, imenovan. sosednji. W. naz. navpično, če so stranice enega nadaljevanja onkraj vrha stranic drugega U. Navpični U. so med seboj enaki. U., pri katerem stranice tvorijo ravno črto, imenovano. razporejen. Polovica razširjene U. naz. direktni U. Direktni U. je lahko enakovredno definiran drugače: U., enak svojemu sosednjemu, klic. neposredno. Notranja ravnina ravnine, ki ne presega razvite ravnine, je konveksno območje na ravnini. 90. delež neposrednega U. se vzame kot merska enota U., imenovana. stopnja.
Uporablja se tudi tako imenovana mera U. Številčna vrednost radianske mere U. je enaka dolžini loka, ki ga stranice U. sekajo iz enotskega kroga. En radian se pripiše U., ki ustreza loku, ki je enak njegovemu polmeru. Razširjeni U. je enak radianom.
Na presečišču dveh ravnih črt, ki ležita v isti ravnini, tretja ravna črta tvori U. (glej sliko 3): 1 in 5, 2 in 6, 4 in 8, Z in 7 - imenovani. primerno; 2 in 5, 3 in 8 - notranji enostranski; 1 in 6, 4 in 7 - zunanji enostranski; 3 in 5, 2 in 8 - notranje križno ležanje; 1 in 7, 4 in 6 - zunanji ležeči navzkrižno.
V praksi Pri problemih je smotrno obravnavati vrtilni kot kot merilo za vrtenje fiksnega žarka okoli njegovega izhodišča v določen položaj. V tem primeru lahko glede na smer vrtenja upoštevamo tako pozitivno kot negativno. Tako ima lahko U. v tem smislu vsako vrednost za svojo vrednost. U. kot rotacija žarka se obravnava v teoriji trigonometrije. funkcije: za poljubne vrednosti argumenta (U.) lahko določite trigonometrične vrednosti. funkcije. Koncept W. v geometrični. Sistem, ki temelji na točkovno-vektorski aksiomatiki, se bistveno razlikuje od definicij W. kot figure - v tej aksiomatiki se W. razume kot določena metrika. vrednost, povezana z dvema vektorjema z operacijo vektorskega skalarnega množenja. Vsak par vektorjev ai in b namreč določa določen kot - število, ki je vektorjem povezano s formulo
kje ( a, b) -
skalarni produkt vektorjev.
Koncept U. kot ploske figure in kot določene numerične količine se uporablja v različnih geometrijskih. probleme, pri katerih se W. na poseben način določa. Tako pod U. med sekajočimi se krivuljami, ki imajo na presečišču določene tangente, razumejo U., ki ga tvorijo te tangente.
Kot med premico in ravnino je vzet kot kot, ki ga tvorita premica in njena pravokotna projekcija na ravnino; meri se od 0
Matematična enciklopedija. - M.: Sovjetska enciklopedija. I. M. Vinogradov. 1977-1985.
Sopomenke:Poglejte, kaj je "ANGLE" v drugih slovarjih:
premog- kot / yok / ... Morfemski pravopisni slovar
Mož. zlom, zlom, koleno, komolec, štrlina ali špranja (korita) na enem obrazu. Kot je linearen, katera koli dva nasprotna udarca in njun interval; kot ravninski ali v ravninah, stik dveh ravnin ali sten; debel, korpulenten kot, srečanje v enem ... Dahlov razlagalni slovar
Kot, okoli kota, na (v) kotu in (mat.) v kotu, m 1. Del ravnine med dvema ravnima črtama, ki izhajata iz ene točke (mat.). Vrh vogala. Strani vogala. Merjenje kota v stopinjah. Pravi kot. (90°). Oster kot. (manj kot 90°). Tupi kot.... Razlagalni slovar Ušakova
KOTIČEK- (1) vpadni kot med smerjo zračnega toka na krilu letala in tetivo odseka krila. Od tega kota je odvisna vrednost dvižne sile. Kot, pri katerem je dvižna sila največja, se imenuje kritični vpadni kot. ti…… Velika politehnična enciklopedija
- (stanovanje) geometrijski lik, ki ga tvorita dva žarka (stranice vogala), ki izhajata iz ene točke (vrh vogala). Vsak kot z ogliščem v središču nekega kroga (centralni kot) določa lok AB na krogu, ki ga omejujejo točke ... ... Veliki enciklopedični slovar
Vodja vogala, izza vogala, medvedji kot, kot, v vseh kotih .. Slovar ruskih sinonimov in izrazov, podobnih po pomenu. Spodaj. izd. N. Abramova, M.: Ruski slovarji, 1999. vrh kota, točka kota; ležaj, zavetje, deviatina, rumb, ... ... Slovar sinonimov
kotiček- kot, prijazen. kotiček; predlog o kotu, v (na) kotu in v govoru matematikov v kotu; pl. vogali, prijazni vogali. V predložnih in stabilnih kombinacijah: za vogalom in dovoljeno za vogalom (vstopiti, zaviti itd.), Od vogala do vogala (premakniti se, umiriti itd.), kot ... ... Slovar težav pri izgovorjavi in naglasu v sodobni ruščini
KOT, kot, okoli kota, na (v) kotu, mož. 1. (v kotu.). V geometriji: ploska figura, ki jo tvorita dva žarka (v 3 vrednostih), ki izhajata iz iste točke. Vrh vogala. Neposredno na. (90°). Akutno pri. (manj kot 90°). Neumen pri. (več kot 90°). Zunanji in notranji ..... Razlagalni slovar Ozhegova
kotiček- ANGLE, angle, m Četrtina stave, pri kateri je rob karte upognjen. ◘ As in pikova dama s kotom // Ubit. A. I. Poležajev. Dan v Moskvi, 1832 Punterji razbijajo krove, ... ... Kartaška terminologija in žargon 19. stoletja
Opredelitev
Geometrijska figura, ki jo sestavljajo vse točke ravnine, zaprte med dvema žarkoma, ki izhajata iz ene točke, se imenuje raven kot.
Opredelitev
Kot med dvema sekajoče se neposredno imenujemo vrednost najmanjšega ravninskega kota v presečišču teh črt. Če sta dve premici vzporedni, velja, da je kot med njima enak nič.
Kot med dvema sekajočima se črtama (če se meri v radianih) ima lahko vrednosti od nič do $\dfrac(\pi)(2)$.
Opredelitev
Kot med dvema sekajočima se premicama se imenuje vrednost, ki je enaka kotu med dvema sekajočima se ravnima črtama, vzporednima s poševnima. Kot med premicama $a$ in $b$ je označen z $\angle (a, b)$.
Pravilnost vpeljane definicije izhaja iz naslednjega izreka.
Izrek o ravninskem kotu z vzporednimi stranicami
Vrednosti dveh konveksnih ravninskih kotov z ustrezno vzporednimi in enako usmerjenimi stranicami so enake.
Dokaz
Če sta kota ravna, sta oba enaka $\pi$. Če nista razvita, potem na pripadajoče stranice kotov $\angle AOB$ in $\angle A_1O_1B_1$ narišemo enaka odseka $ON=O_1ON_1$ in $OM=O_1M_1$.
Štirikotnik $O_1N_1NO$ je paralelogram, ker sta njegovi nasprotni stranici $ON$ in $O_1N_1$ enaki in vzporedni. Podobno je štirikotnik $O_1M_1MO$ paralelogram. Torej $NN_1 = OO_1 = MM_1$ in $NN_1 \paralelno OO_1 \paralelno MM_1$, torej $NN_1=MM_1$ in $NN_1 \paralelno MM_1$ po tranzitivnosti. Štirikotnik $N_1M_1MN$ je paralelogram, ker sta njegovi nasprotni stranici enaki in vzporedni. Torej sta tudi odseka $NM$ in $N_1M_1$ enaka. Trikotnika $ONM$ in $O_1N_1M_1$ sta enaka po tretjem kriteriju enakosti trikotnikov, zato sta enaka tudi ustrezna kota $\angle NOM$ in $\angle N_1O_1M_1$.
Naj sta dva različna vektorja in podana na ravnini ali v tridimenzionalnem prostoru. Odmaknite se od poljubne točke O vektorji in . Potem velja naslednja definicija.
Opredelitev.
Kot med vektorji in se imenuje kot med žarki OA in OB.
Kot med vektorjema in bo označen kot .
Kot med vektorji lahko vzame vrednosti iz 0 do ali, kar je enako, od do .
Kdaj sta vektorja in sosmerna, ko sta vektorja in nasprotno usmerjena.
Opredelitev.
Vektorji in se imenujejo pravokotno, če je kot med njima (radianov).
Če je vsaj eden od vektorjev nič, potem kot ni definiran.
Iskanje kota med vektorji, primeri in rešitve.
Kosinus kota med vektorjema in in s tem tudi sam kot v splošnem primeru lahko najdemo bodisi z uporabo skalarnega produkta vektorjev bodisi z uporabo kosinusnega izreka za trikotnik, zgrajen na vektorjih in .
Analizirajmo te primere.
Po definiciji je skalarni produkt vektorjev . Če sta vektorja in različna od nič, potem lahko oba dela zadnje enakosti delimo s produktom dolžin vektorjev in , in dobimo formula za iskanje kosinusa kota med vektorji, ki niso nič: . To formulo lahko uporabimo, če poznamo dolžine vektorjev in njihov skalarni produkt.
Primer.
Izračunajte kosinus kota med vektorjema in in poiščite tudi sam kot, če sta dolžini vektorjev in enaki 3 in 6 in njihov skalarni produkt je enak -9 .
Odločitev.
V pogoju problema so podane vse količine, potrebne za uporabo formule. Izračunamo kosinus kota med vektorjema in : .
Zdaj poiščemo kot med vektorjema: .
Odgovori:
Obstajajo naloge, kjer so vektorji podani s koordinatami v pravokotnem koordinatnem sistemu na ravnini ali v prostoru. V teh primerih lahko za iskanje kosinusa kota med vektorji uporabite isto formulo, vendar v koordinatni obliki. Dajmo ga.
Dolžina vektorja je kvadratni koren vsote kvadratov njegovih koordinat, skalarni produkt vektorjev je enak vsoti produktov ustreznih koordinat. Posledično formula za izračun kosinusa kota med vektorji na ravnini ima obliko , in za vektorje v tridimenzionalnem prostoru - .
Primer.
Poiščite kot med vektorji, podanimi v pravokotnem koordinatnem sistemu.
Odločitev.
Takoj lahko uporabite formulo:
S formulo lahko poiščete kosinus kota med vektorjema, pri čemer smo predhodno izračunali dolžine vektorjev in skalarni produkt preko koordinat:
odgovor:
Problem se zmanjša na prejšnji primer, ko so podane koordinate treh točk (npr. IN, AT in z) v pravokotnem koordinatnem sistemu in morate najti nek kot (na primer ).
Dejansko je kot enak kotu med vektorjema in . Koordinate teh vektorjev se izračunajo kot razlika med ustreznima koordinatama končne in začetne točke vektorja.
Primer.
Na ravnini v kartezičnem koordinatnem sistemu so podane koordinate treh točk. Poiščite kosinus kota med vektorjema in .
Odločitev.
Določimo koordinate vektorjev in s koordinatami danih točk:
Zdaj pa uporabimo formulo za iskanje kosinusa kota med vektorjema na ravnini v koordinatah:
odgovor:
Kot med vektorjema in lahko izračunamo tudi iz kosinusni izrek. Če odložimo s točke O vektorjev in , potem po zakonu kosinusov v trikotniku OAB lahko zapišemo , kar je enakovredno enakosti , od koder najdemo kosinus kota med vektorjema . Za uporabo dobljene formule potrebujemo samo dolžine vektorjev in , ki jih zlahka najdemo iz koordinat vektorjev in . Vendar se ta metoda praktično ne uporablja, saj je kosinus kota med vektorji lažje najti s formulo.
Izračun pravokotne projekcije (samoprojekcija):
Projekcija vektorja na os l je enaka produktu modula vektorja in kosinusa kota φ med vektorjem in osjo, tj. pr cosφ.
Dokumentacija: Če je φ=< , то пр l =+ = *cos φ.
Če je φ> (φ≤), potem je pr l =- =- * cos( -φ) = cosφ (glej sliko 10)
Če je φ= , potem je pr l = 0 = сos φ.
Posledica: Projekcija vektorja na os je pozitivna (negativna), če vektor tvori z osjo oster (top) kot, in nič, če je ta kot pravi kot.
Posledica: Projekcije enakih vektorjev na isto os so med seboj enake.
Izračun pravokotne projekcije vsote vektorjev (lastna projekcija):
Projekcija vsote več vektorjev na isto os je enaka vsoti njihovih projekcij na to os.
Dock-in: Naj bo na primer = + + . Imamo pr l =+ =+ + - , tj. pr l ( + + ) = pr l + pr l + pr l (glej sliko 11)
RIŽ. enajst
Računanje produkta vektorja s številom:
Pri množenju vektorja s številom λ se s tem številom pomnoži tudi njegova projekcija na os, tj. pr l (λ* )= λ* pr l .
Dokaz: Za λ > 0 velja pr l (λ* )= *cos φ = λ* φ = λ*pr l
Ko je λl (λ* )= *cos( -φ)=- * (-cosφ) = * cosφ= λ *pr l .
Nepremičnina velja tudi za
Tako linearne operacije na vektorje vodijo do ustreznih linearnih operacij na projekcijah teh vektorjev.
