Vücudun eğik bir düzlem boyunca yukarı doğru hareketi. Eğik düzlem. Laboratuvar kurulumunun açıklaması

V. M. Zrazhevsky

LABORATUVAR ÇALIŞMASI NO.

KATI BİR CİSİMİN EĞİK BİR DÜZLEMDEN YUVARLANMASI

Çalışmanın amacı: Sert bir cisim eğik bir düzlemde aşağı doğru yuvarlandığında mekanik enerjinin korunumu yasasının doğrulanması.

Teçhizat: eğik düzlem, elektronik kronometre, farklı kütlelerdeki silindirler.

Teorik bilgiler

Silindirin yarıçapı olsun R ve kütle M ufukla bir α açısı oluşturan eğimli bir düzlemde aşağı doğru yuvarlanır (Şekil 1). Silindire etki eden üç kuvvet vardır: yerçekimi P = mg, düzlemin silindir üzerindeki normal basıncının kuvveti N ve silindirin düzlemdeki sürtünme kuvveti F tr. , bu düzlemde yatıyor.

Silindir aynı anda iki tür harekete katılır: O kütle merkezinin öteleme hareketi ve kütle merkezinden geçen eksene göre dönme hareketi.

Silindir hareket sırasında düzlem üzerinde kaldığı için kütle merkezinin eğik düzleme dik doğrultudaki ivmesi sıfırdır, dolayısıyla

P∙cosα – N = 0. (1)

Eğik bir düzlem boyunca öteleme hareketinin dinamiğinin denklemi sürtünme kuvveti tarafından belirlenir. F tr. ve eğimli düzlem boyunca yerçekimi bileşeni mg∙sinα:

anne = mg∙sinα – F tr. , (2)

Nerede A- silindirin ağırlık merkezinin eğik bir düzlem boyunca ivmelenmesi.

Kütle merkezinden geçen bir eksene göre dönme hareketinin dinamiğinin denklemi şu şekildedir:

BENε = F tr. R, (3)

Nerede BEN– eylemsizlik momenti, ε – açısal ivme. Yer çekimi momenti ve bu eksene göre sıfırdır.

Denklem (2) ve (3) silindirin düzlem boyunca kayarak veya kaymadan hareket etmesine bakılmaksızın her zaman geçerlidir. Ancak bu denklemlerden üç bilinmeyen miktarı belirlemek imkansızdır: F tr. , A ve ε için bir ek koşul daha gereklidir.

Sürtünme kuvveti yeterince büyükse silindir eğimli bir yol boyunca kaymadan yuvarlanır. Bu durumda silindirin çevresindeki noktalar, silindirin kütle merkezi ile aynı yol uzunluğunda hareket etmelidir. Bu durumda doğrusal ivme A ve açısal ivme ε şu ilişkiyle ilişkilidir:

A = Rε. (4)

Denklem (4)'ten ε = A/R. (3)'ü değiştirdikten sonra şunu elde ederiz:

. (5)

(2)'de değiştirme F tr. (5)’te şunu elde ederiz

. (6)

Son ilişkiden doğrusal ivmeyi belirliyoruz

. (7)

Denklemler (5) ve (7)'den sürtünme kuvveti hesaplanabilir:

. (8)

Sürtünme kuvveti eğim açısına α, yerçekimine bağlıdır P = mg ve tutumdan BEN/Bay 2. Sürtünme olmazsa yuvarlanma olmaz.

Kaymadan yuvarlanırken statik sürtünme kuvveti rol oynar. Yuvarlanma sürtünme kuvveti, statik sürtünme kuvveti gibi, μ'ye eşit bir maksimum değere sahiptir. N. Bu durumda kaymadan yuvarlanma koşulları şu şekilde sağlanır:

F tr. ≤ μ N. (9)

(1) ve (8)'i dikkate alarak şunu elde ederiz:

, (10)

veya nihayet

. (11)

Genel durumda, homojen simetrik dönel cisimlerin kütle merkezinden geçen bir eksene göre atalet momenti şu şekilde yazılabilir:

BEN = kmR 2 , (12)

Nerede k= 0,5 katı bir silindir (disk) için; k= 1 içi boş ince duvarlı bir silindir (kasnak) için; k= 0,4 katı bir top için.

(12)'yi (11)'de değiştirdikten sonra, katı bir cismin eğimli bir düzlemde kaymadan yuvarlanmasına ilişkin son kriteri elde ederiz:

. (13)

Katı bir cisim katı bir yüzey üzerinde yuvarlandığında yuvarlanma sürtünme kuvveti küçük olduğundan, yuvarlanan cismin toplam mekanik enerjisi sabittir. Zamanın başlangıç ​​anında, cisim eğik düzlemin en üst noktasındayken H, toplam mekanik enerjisi potansiyele eşittir:

K n = mgh = mgs∙sinα, (14)

Nerede S– kütle merkezinin kat ettiği yol.

Yuvarlanan bir cismin kinetik enerjisi, kütle merkezinin belirli bir hızla öteleme hareketinin kinetik enerjisinden oluşur. υ ve kütle merkezinden geçen bir eksene göre ω hızıyla dönme hareketi:

. (15)

Kaymadan yuvarlanırken doğrusal ve açısal hızlar şu ilişkiyle ilişkilidir:

υ = Rω. (16)

Kinetik enerji ifadesini (15), (16) ve (12) yerine koyarak dönüştürelim:

Eğik bir düzlemde hareket eşit şekilde hızlandırılır:

. (18)

(4)’ü hesaba katarak (18)’i dönüştürelim:

. (19)

(17) ve (19)'u birlikte çözerek, eğimli bir düzlem boyunca yuvarlanan bir cismin kinetik enerjisinin son ifadesini elde ederiz:

. (20)

Kurulum ve ölçüm yönteminin açıklaması

Modüler eğitim kompleksi MUK-M2'nin bir parçası olan “düzlem” ünitesini ve elektronik kronometre SE1'i kullanarak bir vücudun eğimli bir düzlemde yuvarlanmasını inceleyebilirsiniz.

sen
Kurulum, vida 2 kullanılarak ufka doğru farklı açılarda α monte edilebilen eğimli bir düzlemdir 1 (Şek. 2). α açısı ölçek 3 kullanılarak ölçülür. Kütleli bir silindir 4 M. Farklı ağırlıklarda iki silindirin kullanımı sağlanmıştır. Silindirler, kullanılarak kontrol edilen bir elektromıknatıs (5) kullanılarak eğimli düzlemin üst noktasına sabitlenir.

elektronik kronometre SE1. Silindirin kat ettiği mesafe, düzlem boyunca sabitlenmiş bir cetvel (6) ile ölçülür. Silindirin yuvarlanma süresi, silindir bitiş noktasına dokunduğu anda kronometreyi kapatan sensör 7 kullanılarak otomatik olarak ölçülür.

İş emri

1. Vidayı 2 gevşetin (Şek. 2), düzlemi yatayla belirli bir α açısına ayarlayın. Silindiri 4 eğimli bir düzleme yerleştirin.

2. Mekanik ünitenin elektromıknatıslarını kontrol etmek için geçiş anahtarını "düz" konuma getirin.

3. SE1 kronometresini mod 1'e ayarlayın.

4. Kronometrenin başlat düğmesine basın. Yuvarlanma süresini ölçün.

5. Deneyi beş kez tekrarlayın. Ölçüm sonuçlarını tabloya kaydedin. 1.

6. Haddelemeden önce ve sonra mekanik enerjinin değerini hesaplayın. Bir sonuç çıkarın.

7. Diğer düzlem eğim açıları için 1-6 arasındaki adımları tekrarlayın.

tablo 1

8. İkinci video için 1-7 arasındaki adımları tekrarlayın. Sonuçları tabloya kaydedin. 2, tabloya benzer. 1.

9. Çalışmanın tüm sonuçlarına dayanarak sonuçlar çıkarın.

Kontrol soruları

1. Mekanikte kuvvet türlerini adlandırın.

2. Sürtünme kuvvetlerinin fiziksel doğasını açıklayınız.

3. Sürtünme katsayısı nedir? Bedeni?

4. Statik, kayma ve yuvarlanma sürtünme katsayısını hangi faktörler etkiler?

5. Katı bir cismin yuvarlanma sırasındaki hareketinin genel doğasını tanımlayın.

6. Eğik bir düzlemde yuvarlanırken sürtünme momentinin yönü nedir?

7. Bir silindir (top) eğik bir düzlem boyunca yuvarlandığında oluşan dinamik denklem sistemini yazın.

8. Formül (13)'ü türetin.

9. Formül (20)'yi türetin.

10. Kütleleri aynı olan küre ve silindir M ve eşit yarıçaplar R aynı anda eğimli bir düzlemde belirli bir yükseklikten aşağıya doğru kaymaya başlar H. Aynı anda en alt noktaya ulaşacaklar mı ( H = 0)?

11.Yuvarlanan bir cismin frenlenmesinin nedenini açıklayınız.

Kaynakça

1. Savelyev, I.V. 3 ciltlik genel fizik dersi T. 1 / I.V. Savelyev. – M.: Nauka, 1989. – § 41–43.

2. Khaikin, S. E. Mekaniğin fiziksel temelleri / S. E. Khaikin. – M: Nauka, 1971. – § 97.

3. Trofimova T. I. Fizik kursu / T. I. Trofimova. – M: Daha yüksek. okul, 1990. – § 16–19.

Dünyanın yüzeyinde yer çekimi (yer çekimi) sabittir ve düşen cismin kütlesi ile yer çekimi ivmesinin çarpımına eşittir: F g = mg

Serbest düşüşün ivmesinin sabit bir değer olduğuna dikkat edilmelidir: g=9,8 m/s2 ve Dünya'nın merkezine doğru yönlendirilir. Buradan yola çıkarak farklı kütlelere sahip cisimlerin Dünya'ya eşit hızla düşeceğini söyleyebiliriz. Nasıl yani? Bir parça pamuk ve tuğlayı aynı yükseklikte atarsanız, ikincisi yere daha hızlı inecektir. Hava direncini unutmayın! Pamuk yünü için yoğunluğu çok düşük olduğundan bu önemli olacaktır. Havasız bir alanda tuğla ve yün aynı anda düşecektir.

Top 10 metre uzunluğunda bir eğik düzlem boyunca hareket etmektedir ve düzlemin eğim açısı 30°'dir. Uçağın sonunda topun hızı ne olacak?

Top yalnızca düzlemin tabanına dik olarak aşağıya doğru yönlendirilen yerçekimi kuvveti Fg'den etkilenir. Bu kuvvetin (düzlemin yüzeyi boyunca yönlendirilen bileşen) etkisi altında top hareket edecektir. Eğik düzlem boyunca yer çekiminin bileşeni ne olacaktır?

Bileşeni belirlemek için kuvvet vektörü F g ile eğik düzlem arasındaki açının bilinmesi gerekir.

Açıyı belirlemek oldukça basittir:

• herhangi bir üçgenin açılarının toplamı 180°'dir;
• kuvvet vektörü Fg ile eğik düzlemin tabanı arasındaki açı 90°'dir;
• eğik düzlem ile tabanı arasındaki açı α'dır

Yukarıdakilere dayanarak istenen açı şuna eşit olacaktır: 180° - 90° - α = 90° - α

Trigonometriden:

F g eğim = F g cos(90°-α)

Sina = cos(90°-α)

F g eğim = F g sinα

Gerçekten şu şekilde:

• α=90°'de (dikey düzlem) F g eğim = F g
• α=0°'de (yatay düzlem) F g eğim = 0

Topun ivmesini iyi bilinen formüle göre belirleyelim:

F g sinα = m a

A = F g sinα/m

A = m g sinα/m = g sinα

Bir topun eğik bir düzlem boyunca ivmesi topun kütlesine değil, yalnızca düzlemin eğim açısına bağlıdır.

Uçağın sonundaki topun hızını belirleyin:

V 1 2 - V 0 2 = 2 as

(V 0 =0) - top yerden hareket etmeye başlar

V 1 2 = √2·a·s

V = 2 g sinα S = √2 9,8 0,5 10 = √98 = 10 m/s

Formüle dikkat! Eğik düzlemin sonundaki cismin hızı yalnızca düzlemin eğim açısına ve uzunluğuna bağlı olacaktır.

Bizim durumumuzda bir bilardo topu, bir binek otomobil, bir damperli kamyon ve kızaktaki bir okul çocuğu uçağın sonunda 10 m/s hıza sahip olacaktır. Tabii ki sürtünmeyi hesaba katmıyoruz.

Vücut olan eğik bir düzlemde aşağı doğru kayar. Bu durumda aşağıdaki kuvvetler ona etki eder:

Yerçekimi mg dikey olarak aşağıya doğru yönlendirildi;

Düzlemlere dik olarak yönlendirilmiş destek reaksiyon kuvveti N;

Kayma sürtünme kuvveti Ftr hızın tersi yönündedir (cisim kayarken eğik düzlem boyunca yukarıya doğru).

OX ekseni düzlem boyunca aşağıya doğru yönlendirilen eğimli bir koordinat sistemi tanıtalım. Bu uygundur, çünkü bu durumda yalnızca bir vektörü bileşenlere ayırmanız gerekecektir - yerçekimi vektörü mg ve sürtünme kuvveti Ftr ve destek reaksiyon kuvveti N vektörleri zaten eksenler boyunca yönlendirilmiştir. Bu genişlemeyle birlikte yerçekimi kuvvetinin x bileşeni mg sin(α)'ya eşit olur ve aşağı doğru ivmelenen hareketten sorumlu "çekme kuvvetine" karşılık gelir ve y bileşeni - mg cos(α) = N kuvvetin dengesini sağlar. Vücut OY ekseni boyunca hareket etmediği için reaksiyon kuvvetini destekleyin.

Kayma sürtünme kuvveti Ftr = µN, destek tepki kuvvetiyle orantılıdır. Bu, sürtünme kuvveti için aşağıdaki ifadeyi elde etmemizi sağlar: Ftr = µmg cos(α). Bu kuvvet, yerçekiminin "çekme" bileşeninin tersidir. Bu nedenle aşağı doğru kayan bir cisim için toplam bileşke kuvvet ve ivme için ifadeler elde ederiz:

Fx = mg(sin(α) – µ cos(α));

ax = g(sin(α) – µ cos(α)).

hızlanma:

hız

v=ax*t=t*g(sin(α) – µ cos(α))

t=0,2 saniye sonra

hız

v=0,2*9,8(sin(45)-0,4*cos(45))=0,83 m/s

Dünyanın yerçekimi alanının etkisi altında bir cismin Dünya'ya çekilmesini sağlayan kuvvete yerçekimi denir. Evrensel çekim yasasına göre, Dünya yüzeyinde (veya bu yüzeye yakın) m kütleli bir cisme yerçekimi kuvveti etki eder.

Ft=GMm/R2 (2,28)

burada M Dünya'nın kütlesidir; R, Dünya'nın yarıçapıdır.

Eğer bir cisme sadece yerçekimi kuvveti etki ediyorsa ve diğer tüm kuvvetler karşılıklı olarak dengeleniyorsa, cisim serbest düşüşe uğrar. Newton'un ikinci yasasına ve formülüne (2.28) göre, yerçekimi ivmesi modülü g aşağıdaki formülle bulunur:

g=Ft/m=GM/R2. (2.29)

Formül (2.29)'dan, serbest düşüşün ivmesinin düşen cismin m kütlesine bağlı olmadığı sonucu çıkar; Dünya üzerinde belirli bir yerdeki tüm cisimler için bu aynıdır. Formül (2.29)'dan Ft = mg sonucu çıkar. Vektör biçiminde

§ 5'te, Dünya'nın bir küre değil, bir elipsoid devrimi olması nedeniyle kutup yarıçapının ekvatoral olandan daha küçük olduğu belirtildi. Formül (2.28)'den, bu nedenle kutuptaki yerçekimi kuvvetinin ve bunun neden olduğu yerçekimi ivmesinin ekvatordakinden daha büyük olduğu açıktır.

Yerçekimi kuvveti, Dünya'nın çekim alanında bulunan tüm cisimlere etki eder, ancak tüm cisimler Dünya'ya düşmez. Bu, birçok cismin hareketinin diğer cisimler (örneğin destekler, askı ipleri vb.) tarafından engellenmesiyle açıklanır. Diğer cisimlerin hareketini sınırlayan cisimlere bağlantılar denir. Yer çekiminin etkisi altında bağlar deforme olur ve deforme olan bağlantının tepki kuvveti, Newton'un üçüncü yasasına göre yer çekimi kuvvetini dengeler.

§ 5'te serbest düşüşün hızlanmasının Dünya'nın dönüşünden etkilendiği de belirtildi. Bu etki şu şekilde açıklanmaktadır. Dünya yüzeyiyle ilişkili referans sistemleri (Dünya'nın kutuplarıyla ilişkili ikisi hariç), kesin olarak söylemek gerekirse, eylemsiz referans sistemleri değildir - Dünya kendi ekseni etrafında döner ve onunla birlikte bu tür referans sistemleri merkezcil ivmeye sahip daireler halinde hareket eder. Referans sistemlerinin bu ataletsizliği, özellikle yerçekimi ivmesinin değerinin Dünya üzerindeki farklı yerlerde farklı olması ve referans sisteminin ilişkili olduğu yerin coğrafi enlemine bağlı olması gerçeğinde kendini gösterir. Dünya, yerçekimi ivmesinin belirlendiği yere göre konumlandırılmıştır.

Farklı enlemlerde yapılan ölçümler, yerçekimine bağlı ivmenin sayısal değerlerinin birbirinden çok az farklı olduğunu gösterdi. Bu nedenle, çok doğru olmayan hesaplamalarla, Dünya'nın yüzeyiyle ilişkili referans sistemlerinin eylemsizliğini ve ayrıca Dünya'nın şeklinin küreselden farklılığını ihmal edebilir ve Dünya'nın herhangi bir yerindeki yerçekimi ivmesinin olduğunu varsayabiliriz. aynıdır ve 9,8 m/s2'ye eşittir.

Evrensel çekim yasasından, yerçekimi kuvvetinin ve bunun neden olduğu yerçekimi ivmesinin Dünya'dan uzaklaştıkça azaldığı sonucu çıkar. Dünya yüzeyinden h yüksekliğinde, yerçekimi ivme modülü aşağıdaki formülle belirlenir:

Dünya yüzeyinden 300 km yükseklikte yerçekimi ivmesinin Dünya yüzeyine göre 1 m/s2 daha az olduğu tespit edilmiştir.

Sonuç olarak, Dünya'nın yakınında (birkaç kilometre yüksekliğe kadar) yerçekimi kuvveti pratikte değişmez ve bu nedenle Dünya'ya yakın cisimlerin serbest düşüşü eşit şekilde hızlandırılmış bir harekettir.

Vücut ağırlığı. Ağırlıksızlık ve aşırı yük

Bir cismin Dünya'ya olan çekiminden dolayı desteğine veya süspansiyonuna etki ettiği kuvvete cismin ağırlığı denir. Bir cisme uygulanan yerçekimi kuvveti olan yerçekiminin aksine, ağırlık, bir desteğe veya süspansiyona (yani bir bağlantıya) uygulanan elastik bir kuvvettir.

Gözlemler, bir yaylı terazi üzerinde belirlenen bir P cismi ağırlığının, yalnızca vücutla birlikte terazinin Dünya'ya göre hareketsiz olması veya düzgün ve doğrusal olarak hareket etmesi durumunda vücuda etki eden yerçekimi kuvvetine Ft eşit olduğunu göstermektedir; Bu durumda

Eğer bir cisim ivmeli bir hızla hareket ediyorsa, ağırlığı bu ivmenin değerine ve yerçekimi ivmesinin yönüne göre yönüne bağlıdır.

Bir cisim yaylı bir terazi üzerinde asılı durduğunda, ona iki kuvvet etki eder: yerçekimi kuvveti Ft=mg ve yayın elastik kuvveti Fyp. Bu durumda cisim yerçekimi ivmesinin yönüne göre dikey olarak yukarı veya aşağı hareket ederse, Ft ve Fup kuvvetlerinin vektör toplamı cismin ivmelenmesine neden olan bir sonuç verir, yani.

Fт + Fуп=ma.

“Ağırlık” kavramının yukarıdaki tanımına göre P = -Fyп şeklinde yazabiliriz. Ft=mg gerçeği dikkate alındığında mg-ma=-Fyп sonucu çıkar. Bu nedenle P=m(g-a).

Fт ve Fуп kuvvetleri tek bir dikey düz çizgi boyunca yönlendirilmiştir. Bu nedenle, a gövdesinin ivmesi aşağıya doğru yönlendirilmişse (yani, serbest düşüşün g ivmesi ile çakışıyorsa), o zaman modülde

Eğer cismin ivmesi yukarıya doğru ise (yani serbest düşüşün ivmesinin tersi yönde), o zaman

P = m = m(g+a).

Sonuç olarak, ivmesi serbest düşme ivmesi yönünde çakışan bir cismin ağırlığı, hareketsiz durumdaki bir cismin ağırlığından daha azdır ve ivmesi, serbest düşme ivmesinin yönüne zıt olan bir cismin ağırlığı daha fazladır. dinlenme halindeki bir vücudun ağırlığından daha fazladır. Hızlanan hareketin neden olduğu vücut ağırlığındaki artışa aşırı yük denir.

Serbest düşüşte a=g. bu durumda P = 0 olur, yani ağırlık yoktur. Bu nedenle, eğer cisimler yalnızca yerçekiminin etkisi altında hareket ediyorsa (yani serbestçe düşüyorsa), ağırlıksız durumdadırlar. Bu durumun karakteristik bir özelliği, serbest düşen cisimlerde, hareketsiz cisimlerde yerçekiminin neden olduğu deformasyonların ve iç gerilimlerin olmamasıdır. Cisimlerin ağırlıksızlığının nedeni, yerçekimi kuvvetinin, serbestçe düşen bir cisme ve onun desteğine (veya süspansiyonuna) eşit ivme kazandırmasıdır.

Küçük bir cismin eğim açısı a olan eğimli bir düzlem üzerinde olmasına izin verin (Şekil 14.3, A). Hadi öğrenelim: 1) Bir cisim eğik bir düzlem boyunca kayarsa sürtünme kuvveti nedir; 2) vücut hareketsiz kalırsa sürtünme kuvveti nedir; 3) a eğim açısının hangi minimum değerinde cisim eğimli düzlemden kaymaya başlar.

A) B)

Sürtünme kuvveti olacak engellemek hareket, bu nedenle eğimli düzlem boyunca yukarı doğru yönlendirilecektir (Şekil 14.3, B). Sürtünme kuvvetinin yanı sıra yer çekimi kuvveti ve normal reaksiyon kuvveti de cisme etki eder. Koordinat sistemini tanıtalım HOUşekilde gösterildiği gibi tüm bu kuvvetlerin koordinat eksenlerine izdüşümlerini bulun:

X: F TR X = –F tr, N X = 0, mg X = mg sina;

e:F TR e = 0, NY=N, mgY = –mg cosa.

Bir cisim yalnızca eğik bir düzlem boyunca, yani eksen boyunca hızlanabildiğinden X o zaman ivme vektörünün eksene izdüşümünün olduğu açıktır. e her zaman sıfır olacaktır: ve Y= 0, bu, tüm kuvvetlerin eksene izdüşümlerinin toplamı anlamına gelir e ayrıca sıfır olmalıdır:

F TR e + N Y + mg Y= 0 → 0 + N-mg kosa = 0 Ş

N = mg cosa. (14.4)

Bu durumda formül (14.3)'e göre kayma sürtünme kuvveti şuna eşittir:

F tr.sk = m N= M mg cosa. (14.5)

Eğer vücut dinlenme, daha sonra vücuda etki eden tüm kuvvetlerin eksene izdüşümlerinin toplamı X sıfıra eşit olmalıdır:

F TR X + N X + mg X= 0 Þ – F tr + 0 +mg sina = 0 Ş

F tr.p = mg Sina. (14.6)

Eğim açısını kademeli olarak arttırırsak, o zaman değer mg sina kademeli olarak artacaktır, bu da her zaman dış etkilere "otomatik olarak uyum sağlayan" ve bunu telafi eden statik sürtünme kuvvetinin de artacağı anlamına gelir.

Ancak bildiğimiz gibi statik sürtünme kuvvetinin “olasılıkları” sınırsız değildir. Belirli bir a 0 açısında, statik sürtünme kuvvetinin tüm "kaynağı" tükenecektir: kayma sürtünme kuvvetine eşit olan maksimum değerine ulaşacaktır. O zaman eşitlik doğru olacaktır:

F tr.sk = mg Sina 0.

Bu eşitlikte değeri yerine koyarsak F tr.sk (14.5) formülünden şunu elde ederiz: m mg kosa 0 = mg Sina 0.

Son eşitliğin her iki tarafı da şuna bölünür: mg cosa 0, şunu elde ederiz:

Þ a 0 = arctgm.

Dolayısıyla, vücudun eğimli bir düzlem boyunca kaymaya başladığı a açısı aşağıdaki formülle verilir:

a 0 = arctgm. (14.7)

Eğer a = a 0 ise, cisim ya hareketsiz durabilir (eğer ona dokunmazsanız) ya da sabit bir hızla eğik düzlemde aşağı doğru kayabilir (biraz iterseniz). Eğer bir< a 0 , то тело «стабильно» неподвижно, и легкий толчок не произведет на него никакого «впечатления». А если a >0 ise cisim eğik düzlemden hızla ve herhangi bir şok olmadan kayacaktır.

Sorun 14.1. Bir adam birbirine bağlı iki kızak taşıyor (Şekil 14.4, A), kuvvet uygulayarak F yatayla bir açıda. Kızakların kütleleri aynı ve eşittir T. Koşucuların kar üzerindeki sürtünme katsayısı m. Kızağın ivmesini ve çekme kuvvetini bulun T kızaklar arasındaki halatların yanı sıra kuvvet F 1, kızağın eşit şekilde hareket etmesi için bir kişinin ipi çekmesi gerekir.

F bir m M	A)	B) Pirinç. 14.4
A = ? T = ? F 1 = ?

Çözüm. Eksen üzerindeki izdüşümlerde her kızak için Newton'un ikinci yasasını yazalım. X Ve en(Şekil 14.4, B):

BEN en: N 1 + F sina – mg = 0, (1)

X: F kosa - T- M N 1 = anne; (2)

II en: N 2 – mg = 0, (3)

X: T- M N 2 = anne. (4)

(1)'den buluyoruz N 1 = mg–F sina, (3) ve (4)'ten buluyoruz T = M mg+ + ma. Bu değerleri değiştirme N 1 ve T(2)'de şunu elde ederiz

.

Değiştirme A(4)’te şunu elde ederiz

T= m N 2 + anne= m mg + O =

M mg + T .

Bulmak F 1, ifadesini eşitleyelim A sıfıra:

Cevap: ; ;

.

DURMAK! Kendiniz karar verin: B1, B6, C3.

Sorun 14.2. Kütleleri olan iki cisim T Ve MŞekil 2'de gösterildiği gibi bir iplikle bağlanmıştır. 14.5, A. Vücut hangi ivmeyle hareket ediyor? M masa yüzeyindeki sürtünme katsayısı m ise. İplik gerginliği nedir T? Blok ekseni üzerindeki basınç kuvveti nedir?

Yükler hareket etmiyorsa, o zaman .

Cevap: 1) eğer T < mM, O A = 0, T = mg, ; 2) eğer T³m M, O , , .

DURMAK! Kendiniz karar verin: B9–B11, C5.

Sorun 15.3. Kütleleri olan iki cisim T 1 ve T 2, bir bloğun üzerine atılan bir iplikle bağlanır (Şekil 14.6). Vücut TŞekil 1, eğim açısı a olan eğimli bir düzlem üzerindedir. m düzlemine göre sürtünme katsayısı. Vücut kütlesi T 2 bir ipliğe asılı. Aşağıdaki şartlar sağlanmak şartıyla cisimlerin ivmesini, ipliğin çekme kuvvetini ve bloğun eksen üzerindeki basınç kuvvetini bulun. T 2 < T 1. Tga > m'yi düşünün.

Pirinç. 14.7

Newton'un ikinci yasasını eksen üzerindeki izdüşümlere yazalım X 1 ve X 2, buna göre ve:

X 1: T 1 G sina – T - M M 1 G kosa = M 1 A,

X 2: T–m 2 g = m 2 A.

, .

Çünkü A>0 ise

Eşitsizlik (1) karşılanmazsa yük T 2 kesinlikle yükselmiyor! O zaman iki seçenek daha mümkündür: 1) sistem hareketsizdir; 2) kargo T 2 aşağı doğru hareket eder (ve yük T Sırasıyla 1, yukarı).

Yükün olduğunu varsayalım T 2 aşağı doğru hareket eder (Şekil 14.8).

Pirinç. 14.8

Daha sonra Newton'un ikinci yasasının eksen üzerindeki denklemleri X 1 ve X 2 şöyle görünecek:

X 1: T – t 1 G sina – M M 1 G kosa = M 1 A,

X 2: M 2 g – T = m 2 A.

Bu denklem sistemini çözerek şunları buluruz:

, .

Çünkü A>0 ise

Yani eşitsizlik (1) sağlanırsa yük T 2 artar ve eğer eşitsizlik (2) sağlanırsa aşağı iner. Dolayısıyla bu koşullardan hiçbiri karşılanmıyorsa;

,

sistem hareketsizdir.

Blok eksenindeki basınç kuvvetini bulmaya devam ediyor (Şekil 14.9). Blok eksenindeki basınç kuvveti R bu durumda bir eşkenar dörtgenin köşegeni olarak bulunabilir ABCD. Çünkü

Ð ADC= 180° – 2,

burada b = 90°– a, o zaman kosinüs teoremine göre

R 2 = .

Buradan .

Cevap:

1) eğer , O , ;

2) eğer , O , ;

3) eğer , O A = 0; T = T 2 G.

Her durumda .

DURMAK! Kendiniz karar verin: B13, B15.

Sorun 14.4. Tartım arabasında M yatay kuvvet hareketleri F(Şekil 14.10, A). Yük arasındaki sürtünme katsayısı T ve araba m'ye eşittir. Yüklerin ivmesini belirleyin. Minimum kuvvet ne olmalı F 0 yüklenecek T arabada kaymaya mı başladın?

M, T F M	A)	B) Pirinç. 14.10
A 1 = ? A 2 = ? F 0 = ?

Çözüm. Öncelikle yükü hareket ettiren kuvvete dikkat edin. T Hareket halindeki arabanın yüke etki ettiği statik sürtünme kuvvetidir. Bu kuvvetin mümkün olan maksimum değeri m'dir. mg.

Newton'un üçüncü yasasına göre yük, arabaya aynı kuvvetle etki eder - (Şekil 14.10, B). Kayma maksimum değerine ulaştığı anda başlar ancak sistem hala tek bir kütle olarak hareket etmektedir. T+M ivme ile. O zaman Newton'un ikinci yasasına göre

Farklı hareket koşullarına rağmen, problem 8'in çözümü temel olarak problem 7'nin çözümünden farklı değildir. Tek fark, problem 8'de cisme etki eden kuvvetlerin tek bir düz çizgi boyunca uzanmaması, dolayısıyla izdüşümlerin aynı olması gerektiğidir. iki eksende alınmıştır.

Görev 8. Bir at, 230 kg ağırlığındaki bir kızağı çekmekte ve üzerine 250 N kuvvetle etki etmektedir. Durgun halden hareket eden kızak 5,5 m/s hıza ulaşmadan önce ne kadar yol katedecektir? Kızağın kar üzerinde kayma sürtünme katsayısı 0,1'dir ve şaftlar ufka 20° açıyla yerleştirilmiştir.

Kızağa etki eden dört kuvvet vardır: yatayla 20° açıyla yönlendirilen çekme (gerilme) kuvveti; yerçekimi dikey olarak aşağıya doğru yönlendirilmiştir (her zaman); destek reaksiyon kuvveti, ondan gelen desteğe dik olarak yönlendirilir, yani. dikey olarak yukarı doğru (bu problemde); harekete karşı yönlendirilen kayma sürtünme kuvveti. Kızak ötelemeli olarak hareket edeceğinden uygulanan tüm kuvvetler paralel olarak bir noktaya aktarılabilir. merkez kitleler hareketli gövde (kızak). Aynı noktadan koordinat eksenlerini de çizeceğiz (Şekil 8).

Newton'un ikinci yasasına dayanarak hareket denklemini yazıyoruz:

.

Ekseni yönlendirelim Öküz hareket yönü boyunca yatay olarak (bkz. Şekil 8) ve eksen Oy– dikey olarak yukarı. Denklemde yer alan vektörlerin koordinat eksenlerine izdüşümlerini alalım, kayma sürtünme kuvveti için bir ifade ekleyelim ve bir denklem sistemi elde edelim:

Denklem sistemini çözelim. (Sisteme benzer bir denklem sistemini çözme şeması genellikle aynıdır: destek reaksiyon kuvveti ikinci denklemden ifade edilir ve üçüncü denklemde değiştirilir ve ardından sürtünme kuvvetinin ifadesi birinci denklemde değiştirilir. ) Sonuç olarak şunu elde ederiz:

Formüldeki terimleri yeniden düzenleyip sağ ve sol taraflarını kütlelerine göre bölelim:

.

İvme zamana bağlı olmadığından, hız, ivme ve yer değiştirmeyi içeren, düzgün ivmeli hareketin kinematiği için formülü seçiyoruz:

.

Başlangıç ​​hızının sıfır olduğunu ve aynı yönlü vektörlerin skaler çarpımının modüllerinin çarpımına eşit olduğunu göz önünde bulundurarak ivmeyi yerine koyar ve yer değiştirme modülünü ifade ederiz:

;

Ortaya çıkan değer problemin cevabıdır, çünkü doğrusal hareket sırasında kat edilen mesafe ve yer değiştirme modülü çakışmaktadır.

Cevap: kızak 195 m yol kat edecek.

1. Eğik düzlemde hareket

Küçük cisimlerin eğimli bir düzlem üzerindeki hareketinin tanımı, cisimlerin dikey ve yatay hareketinin tanımından temel olarak farklı değildir, bu nedenle, bu tür hareketle ilgili problemleri çözerken, 7, 8 numaralı problemlerde olduğu gibi, aynı zamanda gereklidir. Hareket denklemini yazmak ve vektörlerin koordinat eksenlerine izdüşümlerini almak. Sorun 9'un çözümünü analiz ederken, çeşitli hareket türlerini tanımlama yaklaşımının benzerliğine ve bu tür bir sorunun çözümünü yukarıda tartışılan sorunların çözümünden ayıran nüanslara dikkat etmek gerekir.

Görev 9. Bir kayakçı uzun, düz karla kaplı bir tepeden aşağı kayar, ufka eğim açısı 30° ve uzunluğu 140 m'dir Kayakların gevşek karda kayma sürtünme katsayısı 0,21 ise iniş ne kadar sürer? ?

Bir kayakçının eğimli bir düzlem boyunca hareketi, üç kuvvetin etkisi altında gerçekleşir: dikey olarak aşağıya doğru yönlendirilen yerçekimi kuvveti; desteğe dik olarak yönlendirilen destek reaksiyon kuvveti; Vücudun hareketine karşı yönlendirilen kayma sürtünme kuvveti. Kayağın uzunluğuna kıyasla kayakçının boyutunun ihmal edilmesi, Newton'un ikinci yasasına dayanarak hareket denklemini yazıyoruz kayakçı:

.

Bir eksen seçelim Öküz eğimli düzlem boyunca aşağı doğru (Şekil 9) ve eksen Oy– yukarıya doğru eğik düzleme dik. Denklem vektörlerinin seçilen koordinat eksenlerine izdüşümlerini, ivmenin eğimli düzlem boyunca aşağıya doğru yönlendirildiğini dikkate alarak alalım ve bunlara kayma sürtünme kuvvetini belirleyen bir ifade ekleyelim. Bir denklem sistemi elde ederiz:

İvme denklem sistemini çözelim. Bunu yapmak için sistemin ikinci denkleminden mesnet reaksiyon kuvvetini ifade edip elde edilen formülü üçüncü denklemde, sürtünme kuvveti ifadesini de birinci denklemde yerine koyarız. Kütleyi azalttıktan sonra formülümüz var:

.

İvme zamana bağlı değildir; bu, yer değiştirme, ivme ve zamanı içeren, düzgün ivmeli hareketin kinematiği için formülü kullanabileceğimiz anlamına gelir:

.

Kayakçının başlangıç ​​hızının sıfır olduğu ve yer değiştirme modülünün slaydın uzunluğuna eşit olduğu gerçeğini dikkate alarak, formülden zamanı ifade ediyoruz ve ortaya çıkan formüle ivmeyi koyarak şunu elde ediyoruz:

;

Cevap: Dağdan iniş süresi 9,5 sn.