Ъглова скорост. Линейна ъглова скорост

с линейни стойности.

Ъглово движение- векторна величина, характеризираща промяната на ъгловата координата в процеса на нейното движение.

Ъглова скорост- векторно физическо количество, характеризиращо скоростта на въртене на тялото. Векторът на ъгловата скорост е равен по големина на ъгъла на въртене на тялото за единица време:

и е насочен по протежение на оста на въртене според правилото на гимлета, т.е. в посоката, в която би се завинтил гимлетът с дясна резба, ако се върти в същата посока.

Единицата за измерване на ъгловата скорост, приета в системите SI и CGS) е радиани в секунда. (Забележка: радианът, като всяка единица за измерване на ъгъл, е физически безразмерен, така че физическото измерение на ъгловата скорост е просто ). Техниката също използва обороти в секунда, много по-рядко - градуси в секунда, градуси в секунда. Може би оборотите в минута се използват най-често в технологията - това се случва от времето, когато скоростта на въртене на парните машини с ниска скорост се определяше чрез просто „ръчно“ преброяване на броя обороти за единица време.

Векторът на (моментната) скорост на всяка точка от (абсолютно) твърдо тяло, въртящо се с ъглова скорост, се дава от:

където е радиус-векторът към дадената точка от началото, разположено върху оста на въртене на тялото, а квадратните скоби означават векторния продукт. Линейната скорост (съвпадаща с модула на вектора на скоростта) на точка на определено разстояние (радиус) r от оста на въртене може да се разглежда по следния начин: v = rω. Ако вместо радиани се използват други единици за ъгли, тогава в последните две формули ще се появи множител, който не е равен на единица.

В случай на равнинно въртене, т.е. когато всички вектори на скоростта на точките на тялото лежат (винаги) в една и съща равнина ("равнина на въртене"), ъгловата скорост на тялото винаги е перпендикулярна на тази равнина и в факт - ако равнината на въртене е известна предварително - може да се замени със скалар - проекция върху ос, ортогонална на равнината на въртене. В този случай кинематиката на въртене е значително опростена, но в общия случай ъгловата скорост може да промени посоката си с течение на времето в триизмерното пространство и такава опростена картина не работи.

Производната на ъгловата скорост по отношение на времето е ъгловото ускорение.

Движението с постоянен вектор на ъгловата скорост се нарича равномерно въртеливо движение (в този случай ъгловото ускорение е нула).

Ъгловата скорост (разглеждана като свободен вектор) е една и съща във всички инерционни отправни системи, но в различни инерционни отправни системи, оста или центърът на въртене на едно и също конкретно тяло в един и същи момент от време може да се различава (това ще има различна „приложна точка“ на ъгловата скорост).

В случай на движение на една точка в триизмерното пространство, можете да напишете израз за ъгловата скорост на тази точка спрямо избрания произход:

Където е радиус-векторът на точката (от началото), е скоростта на тази точка. - векторно произведение, - скаларно произведение на вектори. Тази формула обаче не определя еднозначно ъгловата скорост (в случай на една точка можете да изберете други вектори, които са подходящи по дефиниция, в противен случай - произволно - избирайки посоката на оста на въртене), но за общия случай (когато тялото включва повече от една материална точка) - тази формула не е вярна за ъгловата скорост на цялото тяло (защото дава различни стойности за всяка точка и по време на въртенето на абсолютно твърдо тяло по дефиниция, ъгловата скорост на въртенето му е единственият вектор). При всичко това в двумерния случай (случая на въртене на равнината) тази формула е напълно достатъчна, еднозначна и правилна, тъй като в конкретния случай посоката на оста на въртене определено е еднозначно определена.

В случай на равномерно въртеливо движение (т.е. движение с постоянен вектор на ъгловата скорост) декартовите координати на точките на въртящо се по този начин тяло извършват хармонични трептения с ъглова (циклична) честота, равна на модула на ъгловата вектор на скоростта.

При измерване на ъгловата скорост в обороти в секунда (r/s), модулът на ъгловата скорост на равномерно въртеливо движение е същият като скоростта на въртене f, измерена в херци (Hz)

(тоест в такива единици).

В случай на използване на обичайната физическа единица за ъглова скорост - радиани в секунда - модулът на ъгловата скорост е свързан със скоростта на въртене, както следва:

И накрая, когато се използват градуси в секунда, връзката с RPM ще бъде:

Ъглово ускорение- псевдовекторна физическа величина, характеризираща скоростта на промяна на ъгловата скорост на твърдо тяло.

Когато тялото се върти около фиксирана ос, модулът на ъгловото ускорение е:

Векторът на ъгловото ускорение α е насочен по оста на въртене (на страната с ускорено въртене и обратно - с бавно въртене).

Когато се върти около фиксирана точка, векторът на ъгловото ускорение се определя като първата производна на вектора на ъгловата скорост ω по отношение на времето, т.е.

и е насочена тангенциално към ходографа на вектора в съответната му точка.

Има връзка между тангенциалните и ъгловите ускорения:

където R е радиусът на кривината на траекторията на точката в даден момент. И така, ъгловото ускорение е равно на втората производна на ъгъла на въртене спрямо времето или първата производна на ъгловата скорост спрямо времето. Ъгловото ускорение се измерва в rad/sec2.

Ъглова скорост и ъглово ускорение

Помислете за твърдо тяло, което се върти около фиксирана ос. Тогава отделни точки на това тяло ще описват кръгове с различни радиуси, центровете на които лежат на оста на въртене. Нека някаква точка се движи по окръжност с радиус Р(фиг. 6). Неговата позиция след период от време D Tзадайте ъгъл D. Елементарните (безкрайно малки) ротации могат да се разглеждат като вектори (означават се с или ) . Модулът на вектора е равен на ъгъла на завъртане, а посоката му съвпада с посоката на транслационното движение на върха на винта, чиято глава се върти в посоката на движение на точката по окръжността, т.е. се подчинява правило за десен винт(фиг. 6). Наричат ​​се вектори, чиито посоки са свързани с посоката на въртене псевдовекториили аксиални вектори.Тези вектори нямат конкретни точки на приложение: те могат да бъдат изчертани от всяка точка на оста на въртене.

ъглова скоростсе нарича векторно количество, равно на първата производна на ъгъла на въртене на тялото по отношение на времето:

Векторът е насочен по оста на въртене според правилото на десния винт, т.е. същото като вектора (фиг. 7). Размер на ъгловата скорост dim w =T - 1 , и нейната единица е радиан за секунда (rad/s).

Точкова линейна скорост (вижте фиг. 6)

Във векторна форма формулата за линейна скоростможе да се запише като векторно произведение:

В този случай модулът на векторния продукт по дефиниция е равен и посоката съвпада с посоката на транслационното движение на десния винт, когато се върти от към Р.

Ако ( = const, тогава въртенето е равномерно и може да се характеризира период на въртене T - времето, за което върхът прави един пълен оборот, т.е. се завърта на ъгъл от 2p. Тъй като времевият интервал D T= Tсъответства на = 2p, тогава = 2p/ T, където

Броят на пълните обороти, направени от тялото по време на равномерното му движение в кръг за единица време, се нарича честота на въртене:

Ъгловото ускорение е векторна величина, равна на първата производна на ъгловата скорост по отношение на времето:

Когато тялото се върти около фиксирана ос, векторът на ъгловото ускорение е насочен по оста на въртене към вектора на елементарното увеличение на ъгловата скорост. При ускорено движение векторът е сънасочен към вектора (фиг. 8), при бавно движение е противоположен на него (фиг. 9).

Тангенциален компонент на ускорението

Нормален компонент на ускорението

По този начин връзката между линейна (дължина на пътя спремина през точката по дъгата на окръжност с радиус Р, линейна скорост v,тангенциално ускорение , нормално ускорение ) и ъглови величини (ъгъл на въртене j, ъглова скорост w, ъглово ускорение e) се изразява със следните формули:

В случай на равномерно променливо движение на точка по окръжност (e=const)

където w 0 е началната ъглова скорост.

Законите на Нютон.

Първият закон на Нютон. Тегло. Сила

Динамиката е основният клон на механиката, тя се основава на трите закона на Нютон, формулирани от него през 1687 г. Законите на Нютон играят изключителна роля в механиката и са (както всички физически закони) обобщение на резултатите от огромния човешки опит. Те се считат за система от взаимосвързани законии не всеки отделен закон се подлага на експериментална проверка, а цялата система като цяло.

Първият закон на Нютон: всяка материална точка (тяло) запазва състояние на покой или равномерно праволинейно движение, докато въздействието на други тела не я накара да промени това състояние. Желанието на тялото да поддържа състояние на покой или равномерно праволинейно движение се нарича инерция. Следователно, първият закон на Нютон също се нарича закон на инерцията.

Механичното движение е относително и неговият характер зависи от референтната система. Първият закон на Нютон не е валиден в никоя отправна система и тези системи, по отношение на които се изпълнява, се наричат инерциални референтни системи. Инерционна отправна система е такава отправна система, спрямо която материална точка, свободен от външни влияния,или в покой, или се движат равномерно и по права линия. Първият закон на Нютон гласи съществуването на инерциални референтни системи.

Експериментално е установено, че хелиоцентричната (звездната) референтна система може да се счита за инерционна (началото на координатите е в центъра на Слънцето, а осите са начертани по посока на определени звезди). Референтната система, свързана със Земята, строго погледнато, е неинерциална, но ефектите, дължащи се на нейната неинерционност (Земята се върти около собствената си ос и около Слънцето), са незначителни при решаването на много проблеми и в тези случаи тя може да се счита за инерционен.

От опит е известно, че при едни и същи въздействия различните тела променят скоростта на движението си неравномерно, т.е., с други думи, придобиват различни ускорения. Ускорението зависи не само от големината на удара, но и от свойствата на самото тяло (от неговата маса).

Теглотела - физическа величина, която е една от основните характеристики на материята, която определя нейната инерция ( инерционна маса) и гравитационни ( гравитационна маса) Имоти. Понастоящем може да се счита за доказано, че инертната и гравитационната маса са равни една на друга (с точност не по-малка от 10–12 от техните стойности).

За да се опишат ефектите, споменати в първия закон на Нютон, се въвежда понятието сила. Под действието на силите телата или променят скоростта си на движение, т.е. придобиват ускорения (динамично проявление на силите), или се деформират, т.е. променят формата и размерите си (статично проявление на силите). Във всеки момент от време силата се характеризира с числова стойност, посока в пространството и точка на приложение. Така, сила- това е векторна величина, която е мярка за механичното въздействие върху тялото от други тела или полета, в резултат на което тялото придобива ускорение или променя своята форма и размер.

Втори закон на Нютон

Вторият закон на Нютон - основният закон на динамиката на транслационното движение -отговаря на въпроса как се променя механичното движение на материална точка (тяло) под действието на приложените към нея сили.

Ако разгледаме действието на различни сили върху едно и също тяло, се оказва, че ускорението, придобито от тялото, винаги е право пропорционално на резултата от приложените сили:

a~f(t=const). (6.1)

При действието на една и съща сила върху тела с различна маса техните ускорения се оказват различни, а именно

а ~ 1 /t (F= const). (6.2)

Използвайки изрази (6.1) и (6.2) и като вземем предвид, че силата и ускорението са векторни величини, можем да запишем

a = kF/m. (6.3)

Съотношението (6.3) изразява втория закон на Нютон: ускорението, придобито от материална точка (тяло), пропорционално на силата, която го причинява, съвпада с нея по посока и е обратно пропорционално на масата на материалната точка (тяло).

В SI, коефициентът на пропорционалност k= 1. Тогава

(6.4)

Като се има предвид, че масата на материална точка (тяло) в класическата механика е постоянна величина, в израза (6.4) тя може да се постави под знака на производната:

Векторно количество

числено равно на произведението на масата на материална точка и нейната скорост и имащо посока на скоростта, се нарича импулс (инерция)тази материална точка.

Замествайки (6.6) в (6.5), получаваме

Този израз - по-обща формулировка на втория закон на Нютон: скоростта на промяна на импулса на материална точка е равна на силата, действаща върху нея. Извиква се израз (6.7). уравнението на движението на материална точка.

Единица сила в SI - нютон(N): 1 N е сила, която придава ускорение от 1 m/s 2 на маса от 1 kg в посоката на силата:

1 N \u003d 1 kg × m / s 2.

Вторият закон на Нютон е валиден само в инерциални отправни системи. Първият закон на Нютон може да бъде извлечен от втория. Наистина, ако резултантната сила е равна на нула (при липса на влияние върху тялото от други тела), ускорението (виж (6.3)) също е равно на нула. въпреки това Първият закон на Нютонразглежда като независимо право(а не като следствие от втория закон), тъй като той е този, който твърди съществуването на инерциални отправни системи, в които е изпълнено само уравнение (6.7).

В механиката голямо значениеТо има принцип на независимост на действието на силите: ако няколко сили действат едновременно върху материална точка, тогава всяка от тези сили придава ускорение на материалната точка съгласно втория закон на Нютон, сякаш няма други сили. Съгласно този принцип силите и ускоренията могат да бъдат разложени на компоненти, чието използване води до значително опростяване на решаването на проблеми. Например на фиг. 10 действаща сила F= м a се разлага на два компонента: тангенциална сила F t (насочена тангенциално към траекторията) и нормална сила F н(насочена по нормалата към центъра на кривината). Използване на изрази и , както и , можеш да пишеш:

Ако няколко сили действат едновременно върху материална точка, тогава, съгласно принципа на независимостта на действието на силите, F във втория закон на Нютон се разбира като резултатна сила.

Третият закон на Нютон

Взаимодействието между материалните точки (тела) се определя от Третият закон на Нютон: всяко действие на материални точки (тела) една върху друга има характер на взаимодействие; силите, с които материалните точки действат една върху друга, винаги са равни по абсолютна стойност, противоположно насочени и действат по правата линия, свързваща тези точки:

F 12 = - F 21, (7.1)

където F 12 е силата, действаща върху първата материална точка от втората;

F 21 - сила, действаща върху втората материална точка от първата. Тези сили се прилагат към различенматериални точки (тела), винаги действат по двойкии са силите една природа.

Третият закон на Нютон позволява прехода от динамика отделноматериална точка към динамика системиматериални точки. Това следва от факта, че за система от материални точки взаимодействието се свежда до силите на двойното взаимодействие между материалните точки.

Елементарен ъгъл на завъртане, ъглова скорост

Фигура 9. Елементарен ъгъл на въртене ()

Елементарните (безкрайно малки) ротации се третират като вектори. Модулът на вектора е равен на ъгъла на въртене, а посоката му съвпада с посоката на транслационното движение на върха на винта, чиято глава се върти в посоката на движение на точката по окръжността, т.е. , той се подчинява на правилото на десния винт.

Ъглова скорост

Векторът е насочен по оста на въртене според правилото на десния винт, т.е. по същия начин като вектора (виж Фигура 10).

Фигура 10.

Фигура 11

Стойността на вектора, определена от първата производна на ъгъла на въртене на тялото по отношение на времето.

Връзка между модулите на линейната и ъгловата скорости

Фигура 12

Връзка между векторите на линейната и ъгловата скорост

Позицията на разглежданата точка се дава от радиус вектора (начертан от началото 0, лежащо върху оста на въртене). Векторното произведение съвпада по посока с вектора и има модул равен на

Единицата за ъглова скорост е.

Псевдовекторите (аксиални вектори) са вектори, чиито посоки са свързани с посоката на въртене (например,). Тези вектори нямат конкретни точки на приложение: те могат да бъдат изчертани от всяка точка на оста на въртене.

Равномерно движение на материална точка по окръжност

Равномерно движение по окръжност - движение, при което материална точка (тяло) за равни периоди от време преминава дъгите на окръжност с еднаква дължина.

Ъглова скорост

: (-- ъгъл на въртене).

Периодът на въртене T е времето, през което материалната точка прави един пълен оборот около обиколката, т.е. завърта се на ъгъл.

Тъй като съответства на интервала от време, тогава.

Честота на въртене - броят на пълните обороти, направени от материална точка с нейното равномерно движение по окръжност, за единица време.

Фигура 13

Характерна особеност на равномерното движение в кръг

Равномерното кръгово движение е частен случай на криволинейно движение. Движението по окръжност с постоянна скорост по модул () се ускорява. Това се дължи на факта, че при постоянен модул посоката на скоростта се променя през цялото време.

Ускорение на материална точка, движеща се равномерно в окръжност

Тангенциалният компонент на ускорението при равномерно движениеточки около кръга е нула.

Нормалният компонент на ускорението (центростремително ускорение) е насочен по радиуса към центъра на окръжността (виж Фигура 13). Във всяка точка на окръжността векторът на нормалното ускорение е перпендикулярен на вектора на скоростта. Ускорението на материална точка, движеща се равномерно по окръжност във всяка от нейните точки, е центростремително.

ъглово ускорение. Връзка между линейни и ъглови величини

Ъгловото ускорение е векторна величина, определена от първата производна на ъгловата скорост по отношение на времето.

Посока на вектора на ъгловото ускорение

Когато тялото се върти около фиксирана ос, векторът на ъгловото ускорение е насочен по оста на въртене към вектора на елементарното увеличение на ъгловата скорост.

При ускорено движение векторът е подравнен с вектора, при бавно движение е противоположен на него. Векторът е псевдовектор.

Единицата за ъглово ускорение е.

Връзка между линейни и ъглови величини

(- радиус на окръжността; -- линейна скорост; -- тангенциално ускорение; -- нормално ускорение; -- ъглова скорост).

Ъгли на Ойлер, ъгли на самолет (кораб).

Традиционно ъглите на Ойлер се въвеждат, както следва. Преходът от референтната позиция към действителната се извършва с три завъртания (фиг. 4.3):

1. Завъртете зад ъгъла прецесияВ същото време отива на позиция, (c) .

2. Завъртете зад ъгъла нутация. При което,. (4.10)

4. Завъртете зад ъгъла собствено (чисто) въртене

За по-добро разбиране Фиг. 4.4 показва връх и ъгли на Ойлер, които го описват

1. Завъртете зад ъгъла завъртане, при което

2. Завъртете се с ъгъла на наклона, докато (4.12)

3. Завъртете ъгъл наоколо

Изразът "може да се направи" не е случаен; не е трудно да се разбере, че са възможни и други опции, например въртене около фиксирани оси

1. Завъртете зад ъгъла ролка(с риск от счупване на крилата)

2. Завъртете зад ъгъла стъпка(повдигане на "носа") (4.13)

3. Завъртете се под ъгъл завъртане

Идентичността на (4.12) и (4.13) обаче също трябва да бъде доказана.

Нека напишем очевидна векторна формула за позиционния вектор на всяка точка (фиг. 4.6) в матрична форма. Намерете координатите на вектора спрямо референтната основа. Нека разширим вектора според действителния базис и въведем „пренесен” вектор, чиито координати в референтния базис са равни на координатите на вектора в действителния; с други думи, - вектор, „завъртян“ заедно с тялото (фиг.4.6).

Въвеждаме ротационна матрица и колони,

Векторната формула в матрична нотация има формата

1. Матрицата на въртене е ортогонална, т.е.

Доказателство за това твърдение е формулата (4.9)

Изчислявайки детерминантата на продукта (4.15), получаваме и тъй като в референтната позиция, тогава (ортогонални матрици с детерминанта, равна на (+1) се наричат правилноортогонални или ротационни матрици). Матрицата на въртене, когато се умножи по вектори, не променя нито дължините на векторите, нито ъглите между тях, т.е. наистина тях завои.

2. Матрицата на въртене има един собствен вектор (фиксиран), който определя оста на въртене. С други думи, необходимо е да се покаже, че системата от уравнения има единствено решение. Записваме системата във формата (. Детерминантата на тази хомогенна система е равна на нула, тъй като

следователно системата има ненулево решение. Ако приемем, че има две решения, веднага стигаме до извода, че перпендикулярното на тях също е решение (ъглите между векторите не се променят), което означава, че т.е. няма завой..

Матрица в ортонормална база

има поглед.

2. Диференцирайки (4.15), получаваме или, обозначавайки - матрица гръб (англ. to spin - въртя).По този начин спиновата матрица е косо симетрична: . Умножавайки отдясно по, получаваме формулата на Поасон за ротационната матрица:

Стигнахме до най-трудния момент в рамките на матричното описание - определянето на вектора на ъгловата скорост.

Можете, разбира се, да действате по стандартен начин (вижте например метода и напишете: „ въвеждаме обозначението за елементите на косо-симетричната матрицаС според формулата

Ако направим вектор , тогава резултатът от умножаването на матрица по вектор може да бъде представен като кръстосано произведение". В горния цитат - векторът на ъгловата скорост.

Диференцирайки (4.14), получаваме матричното представяне на основната формула за кинематиката на твърдо тяло :

Матричният подход, тъй като е удобен за изчисления, е много малко подходящ за анализиране и извеждане на зависимости; всяка формула, написана на векторен и тензорен език, може лесно да бъде написана в матрична форма, но за да получите компактна и изразителна формула за описание на всяка физическо явлениев матрична форма е трудно.

Освен това не трябва да се забравя, че матричните елементи са координатите (компонентите) на тензора в някаква база. Самият тензор не зависи от избора на базис, а неговите компоненти. За безгрешно писане в матрична форма е необходимо всички вектори и тензори, включени в израза, да бъдат записани в една и съща основа и това не винаги е удобно, тъй като различните тензори имат „проста“ форма в различни бази, така че вие необходимост от преизчисляване на матрици с помощта на преходни матрици.

Движението на удължено тяло, чиито размери не могат да бъдат пренебрегнати при условията на разглежданата задача. Тялото ще се счита за недеформируемо, с други думи, абсолютно твърдо.

Движението, при което всякаквиправа линия, свързана с движещо се тяло, остава успоредна на себе си, се нарича прогресивен.

Под права линия, "твърдо свързана с тяло", се разбира такава права линия, разстоянието от всяка точка на която до всяка точка на тялото остава постоянно по време на движението му.

Транслационното движение на абсолютно твърдо тяло може да се характеризира с движението на всяка точка от това тяло, тъй като при транслационното движение всички точки на тялото се движат с еднакви скорости и ускорения и траекториите на тяхното движение са съвпадащи. След като определихме движението на някоя от точките на твърдото тяло, ние в същото време ще определим движението на всички останали негови точки. Следователно, когато се описва постъпателното движение, не възникват нови проблеми в сравнение с кинематиката на материална точка. Пример за транслационно движение е показано на фиг. 2.20.

Фиг.2.20. Транслационно движение на тялото

Пример за транслационно движение е показано на следната фигура:

Фиг.2.21. Планарно движение на тялото

Друг важен частен случай на движение на твърдо тяло е движението, при което две точки от тялото остават неподвижни.

Движение, при което две точки от тялото остават неподвижни, се нарича въртене около фиксирана ос.

Линията, свързваща тези точки, също е фиксирана и се нарича ос на въртене.

Фиг.2.22. Въртене на твърдо тяло

При такова движение всички точки на тялото се движат по кръгове, разположени в равнини, перпендикулярни на оста на въртене. Центровете на окръжностите лежат на оста на въртене. В този случай оста на въртене може да бъде разположена и извън тялото.

Видео 2.4. Транслационни и ротационни движения.

Ъглова скорост, ъглово ускорение.Когато едно тяло се върти около ос, всичките му точки описват окръжности с различни радиуси и следователно имат различни премествания, скорости и ускорения. Въпреки това е възможно да се опише въртеливото движение на всички точки на тялото по един и същи начин. За това се използват други (в сравнение с материална точка) кинематични характеристики на движение - ъгъл на въртене, ъглова скорост, ъглово ускорение.

Ориз. 2.23. Вектори на ускорение на точка, движеща се в кръг

Ролята на преместването при въртеливото движение се играе от вектор с малък завой, около оста на въртене 00" (фиг. 2.24.). Ще бъде същото за всяка точка абсолютно твърдо тяло(например точки 1, 2, 3 ).

Ориз. 2.24. Въртене на идеално твърдо тяло около неподвижна ос

Модулът на вектора на въртене е равен на стойността на ъгъла на въртене и ъгълът се измерва в радиани.

Векторът на безкрайно малко въртене по оста на въртене е насочен към движението на десния винт (гимлет), завъртян в същата посока като тялото.

Видео 2.5. Крайните ъглови премествания не са вектори, тъй като не се събират според правилото на успоредника. Безкрайно малките ъглови премествания са вектори.

Вектори, чиито посоки са свързани с правилото на gimlet, се наричат аксиален(от английски. ос- ос) за разлика от полярен. вектори, които използвахме по-рано. Полярните вектори са например радиус векторът, векторът на скоростта, векторът на ускорението и векторът на силата. Аксиалните вектори се наричат ​​още псевдовектори, тъй като се различават от истинските (полярни) вектори по поведението си по време на операцията на отразяване в огледалото (инверсия или, което е същото, преход от дясната към лявата координатна система). Може да се покаже (това ще бъде направено по-късно), че добавянето на вектори с безкрайно малки завъртания става по същия начин като добавянето на истински вектори, тоест според правилото на успоредника (триъгълника). Следователно, ако не се разглежда операцията на отражение в огледало, тогава разликата между псевдовекторите и истинските вектори не се проявява по никакъв начин и е възможно и необходимо да се третират като с обикновените (истински) вектори.

Съотношението на вектора на безкрайно малко въртене към времето, през което е извършено това въртене

Наречен ъглова скорост на въртене.

Основната единица за измерване на големината на ъгловата скорост е рад/сек. В печатните издания по причини, които нямат нищо общо с физиката, често пишат 1/секили от -1което, строго погледнато, е невярно. Ъгълът е безразмерна величина, но нейните мерни единици са различни (градуси, румби, градуси ...) и те трябва да бъдат посочени, поне за да се избегнат недоразумения.

Видео 2.6. Стробоскопичният ефект и използването му за дистанционно измерване на ъгловата скорост на въртене.

Ъгловата скорост, подобно на вектора, на който е пропорционална, е аксиален вектор. Когато се върти неподвиженъгловата скорост на оста не променя посоката си. При равномерно въртене неговата стойност също остава постоянна, така че векторът . В случай на достатъчно постоянство във времето на стойността на ъгловата скорост, въртенето може удобно да се характеризира с неговия период T :

Период на въртене- това е времето, за което тялото прави един оборот (завъртане на ъгъл 2π) около оста на въртене.

Думите "достатъчно постоянство" очевидно означават, че през периода (времето на един оборот) модулът на ъгловата скорост се променя незначително.

Също така често се използва брой обороти за единица време

В същото време в техническите приложения (на първо място, всички видове двигатели) е обичайно да се приема не секунда, а минута като единица време. Тоест ъгловата скорост на въртене е посочена в обороти в минута. Както можете лесно да видите, връзката между (в радиани в секунда) и (в обороти в минута) е както следва

Посоката на вектора на ъгловата скорост е показана на фиг. 2.25.

По аналогия с линейното ускорение, ъгловото ускорение се въвежда като скорост на изменение на вектора на ъгловата скорост. Ъгловото ускорение също е аксиален вектор (псевдовектор).

Ъглово ускорение - аксиален вектор, дефиниран като времевата производна на ъгловата скорост

При въртене около фиксирана ос, по-общо при въртене около ос, която остава успоредна на себе си, векторът на ъгловата скорост също е насочен успоредно на оста на въртене. С увеличаване на стойността на ъгловата скорост || ъгловото ускорение съвпада с него по посока, докато намалява - то е насочено в обратна посока. Подчертаваме, че това е само частен случай на неизменност на посоката на оста на въртене, в общия случай (въртене около точка) самата ос на въртене се върти и тогава горното не е вярно.

Връзка на ъглови и линейни скорости и ускорения.Всяка от точките на въртящото се тяло се движи с определена линейна скорост, насочена тангенциално към съответната окръжност (виж фиг. 19). Нека материалната точка се върти около оста 00" около окръжност с радиус Р. За кратък период от време той ще измине пътя, съответстващ на ъгъла на завъртане. Тогава

Преминавайки към границата , получаваме израз за модула на линейната скорост на точка от въртящо се тяло.

Спомнете си тук Р- разстояние от разглежданата точка на тялото до оста на въртене.

Ориз. 2.26.

Тъй като нормалното ускорение е

тогава, като вземем предвид връзката за ъгловата и линейната скорости, получаваме

Нормалното ускорение на точки във въртящо се твърдо тяло често се нарича центростремително ускорение.

Диференцирайки по отношение на времето израза за , намираме

където е тангенциалното ускорение на точка, движеща се по окръжност с радиус Р.

По този начин както тангенциалните, така и нормалните ускорения растат линейно с увеличаване на радиуса Р- разстояние от оста на въртене. Общото ускорение също зависи линейно от Р :

Пример.Нека намерим линейната скорост и центростремителното ускорение на точките, разположени на земната повърхност на екватора и на географската ширина на Москва ( = 56°). Знаем периода на въртене на Земята около собствената си ос T \u003d 24 часа \u003d 24x60x60 \u003d 86 400 s. От тук е ъгловата скорост на въртене

Земен среден радиус

Разстоянието до оста на въртене на географска ширина е

От тук намираме линейната скорост

и центростремително ускорение

На екватора = 0, cos = 1, следователно,

На географската ширина на Москва cos = cos 56° = 0,559и получаваме:

Виждаме, че влиянието на въртенето на Земята не е толкова голямо: съотношението на центростремителното ускорение на екватора към ускорението на свободното падане е

Въпреки това, както ще видим по-късно, ефектите от въртенето на Земята са доста видими.

Връзка между векторите на линейната и ъгловата скорост.Получените по-горе зависимости между ъгловите и линейните скорости са записани за модулите на векторите и . За да напишем тези отношения във векторна форма, използваме концепцията за векторно произведение.

Позволявам 0z- оста на въртене на абсолютно твърдо тяло (фиг. 2.28).

Ориз. 2.28. Връзка между векторите на линейната и ъгловата скорост

Точка Асе върти около окръжност с радиус Р. Р- разстояние от оста на въртене до разглежданата точка на тялото. Нека вземем точка 0 за произхода на координатите. Тогава

и тъй като

след това по дефиниция на векторния продукт, за всички точки на тялото

Тук е радиус-векторът на точката на тялото, започваща от точка O, лежаща на произволно фиксирано място, задължително по оста на въртене

Но по друг начин

Първият член е равен на нула, тъй като векторното произведение на колинеарни вектори е равно на нула. следователно

където вектор Ре перпендикулярна на оста на въртене и насочена от нея, а нейният модул е ​​равен на радиуса на окръжността, по която се движи материалната точка и този вектор започва в центъра на този кръг.

Ориз. 2.29. Към дефиницията на моментната ос на въртене

Нормалното (центростремително) ускорение може да се запише и като векторна форма:

а знакът "-" показва, че е насочен към оста на въртене. Разграничавайки връзката за линейната и ъгловата скорост спрямо времето, намираме израза за пълното ускорение

Първият член е насочен тангенциално към траекторията на точка върху въртящо се тяло и неговият модул е ​​, тъй като

Сравнявайки с израза за тангенциално ускорение, заключаваме, че това е векторът на тангенциалното ускорение

Следователно вторият член е нормалното ускорение на същата точка:

Наистина, той е насочен по радиуса Ркъм оста на въртене и неговият модул е ​​равен на

Следователно тази връзка за нормално ускорение е друга форма на запис на получената преди това формула.

Допълнителна информация

http://www.plib.ru/library/book/14978.html - Сивухин Д.В. Общ курс по физика, том 1, Изд. Механика. Science 1979 - стр. 242–243 (§46, стр. 7): обсъжда се доста труден за разбиране въпрос за векторната природа на ъгловите ротации на твърдо тяло;

http://www.plib.ru/library/book/14978.html - Сивухин Д.В. Общ курс по физика, том 1, Изд. Механика. Science 1979 - стр. 233–242 (§45, §46 стр. 1–6): моментна ос на въртене на твърдо тяло, добавяне на ротации;

http://kvant.mirror1.mccme.ru/1990/02/kinematika_basketbolnogo_brosk.html - списание Квант - кинематика на баскетболно хвърляне (Р. Винокур);

http://kvant.mirror1.mccme.ru/ - сп. Квант, 2003, № 6, - стр. 5–11, поле на моментните скорости на твърдо тяло (С. Кротов);

На окръжност се определя от радиус вектора $ \overrightarrow (r)$, изтеглен от центъра на окръжността. Модулът на радиус вектора е равен на радиуса на окръжността R (фиг. 1).

Фигура 1. Радиус вектор, преместване, път и ъгъл на завъртане, когато точка се движи по окръжност

В същото време движението на тялото по окръжност може недвусмислено да се опише с помощта на такива кинематични характеристики като ъгъл на въртене, ъглова скорост и ъглово ускорение.

За времето ∆t тялото, движейки се от точка A до точка B, прави преместване $\триъгълник r$, равно на хордата AB, и изминава път, равен на дължината на дъгата l. Радиус векторът се завърта на ъгъл ∆$ \varphi $.

Ъгълът на въртене може да се характеризира с вектора на ъгловото изместване $d\overrightarrow((\mathbf \varphi ))$, чийто модул е ​​равен на ъгъла на въртене ∆$ \varphi $, а посоката съвпада с ос на въртене и по такъв начин, че посоката на въртене да съответства на правилото на десния винт според по отношение на посоката на вектора $d\overrightarrow((\mathbf \varphi ))$.

Векторът $d\overrightarrow((\mathbf \varphi ))$ се нарича аксиален вектор (или псевдо-вектор), докато векторът на изместване $\triangle \overrightarrow(r)$ е полярен вектор (те също включват скорост и вектори на ускорение). Те се различават по това, че полярният вектор, освен дължина и посока, има точка на приложение (полюс), а аксиалният вектор има само дължина и посока (ос - на латински axis), но няма точка на приложение. Вектори от този тип често се използват във физиката. Те включват, например, всички вектори, които са кръстосано произведение на два полярни вектора.

Скаларна физическа величина, числено равна на съотношението на ъгъла на въртене на радиус-вектора към интервала от време, през който се е случило това въртене, се нарича средна ъглова скорост: $\left\langle \omega \right\rangle =\frac(\ триъгълник \varphi )(\триъгълник t)$. Единицата SI за ъглова скорост е радиан за секунда $(\frac (rad) (c))$.

Определение

Ъгловата скорост на въртене е вектор, числено равен на първата производна на ъгъла на въртене на тялото по отношение на времето и насочен по оста на въртене съгласно правилото на десния винт:

\[\overrightarrow((\mathbf \omega ))\left(t\right)=(\mathop(lim)_(\triangle t\to 0) \frac(\triangle (\mathbf \varphi ))(\triangle t)=\frac(d\горна дясна стрелка((\mathbf \varphi )))(dt)\ )\]

При равномерно движение по окръжност ъгловата скорост и модулът на линейната скорост са постоянни стойности: $(\mathbf \omega )=const$; $v=const$.

Като се има предвид, че $\triangle \varphi =\frac(l)(R)$, получаваме формулата за връзката между линейната и ъгловата скорост: $\omega =\frac(l)(R\triangle t)=\frac( v)( R)$. Ъгловата скорост също е свързана с нормалното ускорение: $a_n=\frac(v^2)(R)=(\omega )^2R$

За неравномерно кръгово движение векторът на ъгловата скорост е векторна функция на времето $\overrightarrow(\omega )\left(t\right)=(\overrightarrow(\omega ))_0+\overrightarrow(\varepsilon )\left( t\right) t$, където $(\overrightarrow((\mathbf \omega )))_0$ е началната ъглова скорост, $\overrightarrow((\mathbf \varepsilon ))\left(t\right)$ е ъглово ускорение. В случай на равномерно движение $\left|\overrightarrow((\mathbf \varepsilon ))\left(t\right)\right|=\varepsilon =const$ и $\left|\overrightarrow((\mathbf \ омега ) )\left(t\right)\right|=\omega \left(t\right)=(\omega )_0+\varepsilon t$.

Опишете движението на въртящо се твърдо тяло в случаите, когато ъгловата скорост се променя според графики 1 и 2, показани на фиг.2.

Фигура 2.

Въртенето се извършва в две посоки - по посока на часовниковата стрелка и обратно на часовниковата стрелка. Посоката на въртене е свързана с псевдовектора на ъгъла на въртене и ъгловата скорост. Нека посоката на въртене се счита за положителна по часовниковата стрелка.

За движение 1 ъгловата скорост се увеличава, но ъгловото ускорение $\varepsilon $=d$\omega $/dt (производно) намалява, като остава положително. Следователно това движение се ускорява по посока на часовниковата стрелка с намаляваща величина на ускорението.

За движение 2 ъгловата скорост намалява, след това достига нула в точката на пресичане с абсцисната ос и след това става отрицателна и нараства по абсолютна стойност. Ъгловото ускорение е отрицателно и намалява по абсолютна стойност. Така отначало точката се движеше бавно по посока на часовниковата стрелка, като ъгловото ускорение намаляваше по абсолютна стойност, след това спря и започна да се върти бързо с ускорение, намаляващо по абсолютна стойност.

Намерете радиуса R на въртящо се колело, ако е известно, че линейната скорост $v_1$ на точка, разположена върху ръба, е 2,5 пъти по-голяма от линейната скорост $v_2$ на точка, разположена на разстояние $r = 5 cm$ по-близо до оста на колелото.

Фигура 3

$$R_2 = R_1 - 5$$ $$v_1 = 2.5v_2$$ $$R_1 = ?$$

Точките се движат по концентрични окръжности, техните вектори на ъглови скорости са равни, $\left|(\overrightarrow(\omega ))_1\right|=\left|(\overrightarrow(\omega ))_2\right|=\omega $ следователно може да се запише в скаларна форма:

Отговор: радиус на колелото R = 8,3 cm