Pateikite kampo tarp tiesių sąvoką. Pažiūrėkite, kas yra „kampas“ kituose žodynuose. Vektoriaus ir skaičiaus sandaugos apskaičiavimas

Susideda iš dviejų skirtingų spindulių, sklindančių iš vieno taško. Spinduliai vadinami U pusės, o jų bendra pradžia yra U viršūnė. Tegul [ VA),[Saulė) - kampo pusės, IN – jo viršūnė yra plokštuma, apibrėžta kraštinėmis U. Paveikslas dalija plokštumą į dvi figūras i==l, 2, taip pat vadinamas U. arba plokščias kampas, vadinamas. plokščio U vidinė sritis.
Du kampai vadinami lygūs (arba sutampantys), jei juos galima išlyginti taip, kad atitinkamos jų pusės ir viršūnės sutaptų. Iš bet kurio plokštumos spindulio tam tikra kryptimi nuo jos galima nubrėžti vieną ašį, lygią duotai ašiai.Ašies palyginimas atliekamas dviem būdais. Jei spindulys laikomas bendros kilmės spindulių pora, tai norint išsiaiškinti, kuris iš dviejų pluoštų yra didesnis, reikia sujungti pluošto viršūnes ir vieną jų kraštinių porą vienoje plokštumoje (žr. 1 pav.). Jei pasirodo, kad antroji vieno U. pusė yra kito U. viduje, tada jie sako, kad pirmasis U yra mažesnis nei antrasis. Antrasis U. palyginimo būdas pagrįstas kiekvieno U. palyginimu su tam tikru skaičiumi. Lygi U. atitiks tuos pačius laipsnius arba (žr. toliau), didesnis U. – didesnį skaičių, o mažesnis – mažesnį skaičių.

Skambino du U.. gretimos, jei jos turi bendrą viršūnę ir vieną kraštinę, o kitos dvi kraštinės sudaro tiesią liniją (žr. 2 pav.). Apskritai U. turintys bendrą viršų ir vieną bendrą pusę vadinami. gretimas. paskambino U. vertikalios jei vienos kraštinės yra tęsiniai už kito šonų viršaus.Vertikali U. yra lygi viena kitai. U., kurio kraštinės sudaro tiesią liniją, vadinamas. išplėstas. Pusė išsiplėtusi U. paskambino. tiesus U. Tiesioginis U. lygiaverčiai gali būti apibrėžtas skirtingai: U. lygus jo gretimai, vadinamas. tiesioginis. Plokščios plokštumos vidus, neviršijantis išsiskleidusios, yra išgaubta plokštumos sritis. U matavimo vienetas yra 90-oji tiesioginio U. trupmena, vadinama. laipsnį.

Taip pat naudojamas vadinamasis U matas. Radiano U mato skaitinė reikšmė yra lygi lanko ilgiui, kurį U kraštinės išpjauna nuo vienetinio apskritimo. Vienas radianas priskiriamas U, atitinkančiam lanką, kuris yra lygus jo spinduliui. Išsiplėtusi U. lygi radianams.
Dviejų tiesių, esančių toje pačioje plokštumoje, susikirtimo vietoje trečioji tiesė sudaro U. (žr. 3 pav.): 1 ir 5, 2 ir 6, 4 ir 8, Z ir 7 - vadinami. tinkamas; 2 ir 5, 3 ir 8 - vidinis vienašalis; 1 ir 6, 4 ir 7 - išorinis vienpusis; 3 ir 5, 2 ir 8 - vidinis kryžminis gulėjimas; 1 ir 7, 4 ir 6 - išorinis gulėjimas skersai.

Praktikoje Problemose sukimosi kampą tikslinga laikyti fiksuoto spindulio sukimosi aplink jo pradžią į tam tikrą padėtį matu. Šiuo atveju, priklausomai nuo sukimosi krypties, galima laikyti ir teigiamą, ir neigiamą. Taigi U. šia prasme gali turėti bet kokią vertę savo vertei. U. kaip sijos sukimasis nagrinėjamas trigonometrinio teorijoje. funkcijos: bet kurioms argumento reikšmėms (U.) galite nustatyti trigonometrines reikšmes. funkcijas. Geometrijos samprata geometrijoje. sistema, kuri remiasi taškinio vektoriaus aksiomatika, iš esmės skiriasi nuo U. kaip figūros apibrėžimų – šioje aksiomatikoje U. suprantama kaip tam tikra metrika. dydis, susijęs su dviem vektoriais, naudojant skaliarinio vektorių daugybos operaciją. Būtent kiekviena vektorių pora a ir b apibrėžia tam tikrą kampą – skaičių, susietą su vektoriais pagal formulę

kur ( a, b) - vektorių skaliarinė sandauga.
U. kaip plokščios figūros ir kaip tam tikros skaitinės reikšmės samprata vartojama įvairiose geometrijose. problemos, kuriose U. nustatomas ypatingu būdu. Taigi, pagal formą tarp susikertančių kreivių, turinčių tam tikras liestines susikirtimo taške, turime omenyje šių liestinių suformuotą formą.
Kampas tarp tiesės ir plokštumos laikomas kampu, kurį sudaro tiesė ir jos stačiakampė projekcija į plokštumą; jis matuojamas intervale nuo 0

Matematinė enciklopedija. - M.: Tarybinė enciklopedija. I. M. Vinogradovas. 1977–1985 m.

Pažiūrėkite, kas yra „kampas“ kituose žodynuose:

žarijų- kampas / lankas / ... Morfemijos rašybos žodynas

Vyras. lūžis, sulenkimas, kelio, alkūnės, išsikišimas ar raukšlė (įspaudimas) vienoje pusėje. Tiesinis kampas, bet kurios dvi priešingos linijos ir jų intervalas; kampinė plokštuma arba plokštumose, dviejų plokštumų arba sienų susitikimas; kampas storas, kūnas, susitikimas viename... Dahlio aiškinamasis žodynas

Kampas, apie kampą, į (į) kampą ir (mat.) kampe, m 1. Plokštumos dalis tarp dviejų tiesių, kylančių iš vieno taško (mat.). Kampo viršuje. Kampo šonai. Kampo matavimas laipsniais. Tiesus kampas. (90°). Aštrus kampas. (mažiau nei 90°). Bukas kampas.... Ušakovo aiškinamasis žodynas

KAMPAS- (1) atakos kampas tarp oro srauto krypties ant orlaivio sparno ir sparno dalies stygos. Nuo šio kampo priklauso kėlimo jėgos vertė. Kampas, kuriame kėlimo jėga yra didžiausia, vadinamas kritiniu atakos kampu. U... ... Didžioji politechnikos enciklopedija

- (butas) geometrinė figūra, sudarytas iš dviejų spindulių (kampo kraštinių), kylančių iš vieno taško (kampo viršūnės). Bet koks kampas, kurio viršūnė yra tam tikro apskritimo centre (centrinis kampas), apibrėžia apskritimo lanką AB, ribojamą taškų... ... Didysis enciklopedinis žodynas

Kampo galva, iš už kampo, meškų kampelis, neužbaigtas kampas, visuose kampuose... Rusų sinonimų ir panašių posakių žodynas. pagal. red. N. Abramova, M.: Rusų kalbos žodynai, 1999. kampo viršūnė, kampinis taškas; guolis, pastogė, deviatina, kryptis,... ... Sinonimų žodynas

kampas- kampas, strypas. kampas; sakinys apie anglį, kampe (ant) ir matematikų kalboje anglimi; pl. kampai, strypas. kampus Prielinksniuose ir stabiliuose deriniuose: už kampo ir leidžiama apvažiuoti kampą (įvažiuoti, pasukti ir pan.), iš kampo į kampą (judėti, padėtis ir pan.), kampu... ... Tarimo sunkumų ir kirčiavimo žodynas šiuolaikine rusų kalba

KAMPAS, kampas, apie kampą, kampe, vyras. 1. (kampe.). Geometrijoje: plokščia figūra, sudaryta iš dviejų spindulių (3 skaitmenų), sklindančių iš vieno taško. Kampo viršuje. Tiesioginis y. (90°). Ūmus u. (mažiau nei 90°). Kvailas u. (daugiau nei 90°). Išorinis ir vidinis...... Ožegovo aiškinamasis žodynas

kampas- KAMPAS, kampas, m Ketvirtadalis statymo, paskelbus, kortos kraštas užlenkiamas. ◘ Tūzas ir pikų dama su kampu // Killed. A.I. Poležajevas. Diena Maskvoje, 1832 m. ◘ Po vakarienės jis barsto ant stalo červonecius, maišo kortas; žaidėjai laužo savo kaladės.... XIX amžiaus kortų terminija ir žargonas

Apibrėžimas

Geometrinė figūra, susidedanti iš visų plokštumos taškų, esančių tarp dviejų spindulių, sklindančių iš vieno taško, vadinama plokščias kampas.

Apibrėžimas

Kampas tarp dviejų susikerta tiesiai yra mažiausio plokštumos kampo reikšmė šių tiesių sankirtoje. Jei dvi tiesės yra lygiagrečios, tada kampas tarp jų laikomas nuliu.

Kampas tarp dviejų susikertančių linijų (jei plokštumos kampai matuojami radianais) gali būti nuo nulio iki $\dfrac(\pi)(2)$.

Apibrėžimas

Kampas tarp dviejų susikertančių linijų yra dydis, lygus kampui tarp dviejų susikertančių tiesių, lygiagrečių susikertančioms. Kampas tarp linijų $a$ ir $b$ žymimas $\angle (a, b)$.

Įvesto apibrėžimo teisingumas išplaukia iš šios teoremos.

Plokštumo kampo teorema su lygiagrečiomis kraštinėmis

Dviejų išgaubtų plokštumos kampų su atitinkamai lygiagrečiomis ir identiškomis kraštinėmis dydžiai yra lygūs.

Įrodymas

Jei kampai tiesūs, tada jie abu lygūs $\pi$. Jei jie nėra išskleisti, tada atitinkamose kampų $\kampas AOB$ ir $\kampas A_1O_1B_1$ pusėse nubraižome lygias atkarpas $ON=O_1ON_1$ ir $OM=O_1M_1$.

Keturkampis $O_1N_1NO$ yra lygiagretainis, nes jo priešingos kraštinės $ON$ ir $O_1N_1$ yra lygios ir lygiagrečios. Panašiai keturkampis $O_1M_1MO$ ​​yra lygiagretainis. Taigi $NN_1 = OO_1 = MM_1$ ir $NN_1 \lygiagreti OO_1 \lygiagreti MM_1$, todėl $NN_1 = MM_1$ ir $NN_1 \lygiagreti MM_1$ pagal tranzityvumą. Keturkampis $N_1M_1MN$ yra lygiagretainis, nes jo priešingos kraštinės yra lygios ir lygiagrečios. Taigi segmentai $NM$ ir $N_1M_1$ taip pat yra lygūs. Trikampiai $ONM$ ir $O_1N_1M_1$ yra lygūs pagal trečiąjį trikampių lygybės kriterijų, o tai reiškia, kad atitinkami kampai $\angle NOM$ ir $\angle N_1O_1M_1$ yra lygūs.

Tegul du nuliniai vektoriai yra pateikti plokštumoje arba trimatėje erdvėje. Atidėkite nuo savavališko taško O vektoriai ir . Tada galioja toks apibrėžimas.

Apibrėžimas.

Kampas tarp vektorių ir vadinamas kampu tarp spindulių O.A. Ir O.B..

Kampas tarp vektorių ir bus pažymėtas kaip .

Kampas tarp vektorių gali paimti reikšmes iš 0 iki arba, kuris yra tas pats, nuo iki .

Kai vektoriai ir yra bendrakrypčiai, kai vektoriai ir yra priešingos krypties.

Apibrėžimas.

Vektoriai vadinami statmenai, jei kampas tarp jų yra (radianais).

Jei bent vienas iš vektorių yra lygus nuliui, kampas nėra apibrėžtas.

Kampo tarp vektorių, pavyzdžių ir sprendimų paieška.

Kampo tarp vektorių ir kosinusą, taigi ir patį kampą, bendruoju atveju galima rasti naudojant vektorių skaliarinę sandaugą arba trikampio, sudaryto iš vektorių ir , kosinuso teoremą.

Pažvelkime į šiuos atvejus.

Pagal apibrėžimą vektorių skaliarinė sandauga yra . Jei vektoriai ir yra ne nulis, tada mes galime padalyti abi paskutinės lygybės puses iš vektorių ilgių sandaugos ir , ir gauname kampo tarp nulinių vektorių kosinuso nustatymo formulė: . Šią formulę galima naudoti, jei žinomi vektorių ilgiai ir jų skaliarinė sandauga.

Pavyzdys.

Apskaičiuokite kampo tarp vektorių ir kosinusą, taip pat suraskite patį kampą, jei vektorių ir ilgiai yra lygūs 3 Ir 6 atitinkamai, o jų skaliarinė sandauga yra lygi -9 .

Sprendimas.

Problemos teiginyje yra visi kiekiai, reikalingi formulei pritaikyti. Apskaičiuojame kampo tarp vektorių kosinusą ir: .

Dabar randame kampą tarp vektorių: .

Atsakymas:

Yra problemų, kai vektoriai nurodomi koordinatėmis stačiakampėje koordinačių sistemoje plokštumoje arba erdvėje. Tokiais atvejais, norėdami rasti kampo tarp vektorių kosinusą, galite naudoti tą pačią formulę, bet koordinačių forma. Gaukime.

Vektoriaus ilgis yra kvadratinė šaknis iš jo koordinačių kvadratų sumos, vektorių skaliarinė sandauga lygi atitinkamų koordinačių sandaugų sumai. Vadinasi, kampo tarp vektorių kosinuso apskaičiavimo formulė plokštumoje turi formą , o vektoriams trimatėje erdvėje - .

Pavyzdys.

Raskite kampą tarp vektorių, pateiktų stačiakampėje koordinačių sistemoje.

Sprendimas.

Galite iš karto naudoti formulę:

Arba galite naudoti formulę norėdami rasti kampo tarp vektorių kosinusą, prieš tai apskaičiavę vektorių ilgius ir skaliarinę sandaugą per koordinates:

Atsakymas:

Problema sumažinama iki ankstesnio atvejo, kai pateikiamos trijų taškų koordinatės (pvz A, IN Ir SU) stačiakampėje koordinačių sistemoje ir reikia rasti tam tikrą kampą (pavyzdžiui, ).

Iš tiesų, kampas yra lygus kampui tarp vektorių ir . Šių vektorių koordinatės apskaičiuojamos kaip skirtumas tarp atitinkamų vektoriaus pabaigos ir pradžios taškų koordinačių.

Pavyzdys.

Plokštumoje trijų taškų koordinatės pateiktos Dekarto koordinačių sistemoje. Rasti kampo tarp vektorių ir kosinusą.

Sprendimas.

Nustatykime vektorių koordinates ir nurodytų taškų koordinates:

Dabar naudokite formulę, kad surastume kampo tarp vektorių plokštumoje kosinusą koordinatėmis:

Atsakymas:

Kampas tarp vektorių ir taip pat gali būti apskaičiuojamas pagal kosinuso teorema. Jei atidėsime nuo taško O vektoriai ir , Tada kosinuso teorema trikampyje OAV galime parašyti, kas yra lygiavertė lygybei, iš kurios randame kampo tarp vektorių kosinusą. Norint pritaikyti gautą formulę, mums reikia tik vektorių ilgių ir , kuriuos galima lengvai rasti iš vektorių koordinačių ir . Tačiau šis metodas praktiškai nenaudojamas, nes kampo tarp vektorių kosinusą lengviau rasti naudojant formulę.

Stačiakampės projekcijos apskaičiavimas (savo projekcija):

Vektoriaus projekcija į l ašį lygi vektoriaus modulio sandaugai ir kampo φ tarp vektoriaus ir ašies kosinusui, t.y. pr cosφ.

Dokumentas: jei φ=< , то пр l =+ = *cos φ.

Jei φ> (φ≤ ), tai pr l =- =- * cos( -φ) = cosφ (žr. 10 pav.)

Jei φ= , tai pr l = 0 = cos φ.

Pasekmė: vektoriaus projekcija į ašį yra teigiama (neigiama), jei vektorius su ašimi sudaro smailųjį (buką) kampą, ir lygi nuliui, jei šis kampas yra tiesus.

Pasekmė: vienodų vektorių projekcijos į tą pačią ašį yra lygios viena kitai.

Vektorių sumos ortogonaliosios projekcijos apskaičiavimas (projekcijos savybė):

Kelių vektorių sumos projekcija į tą pačią ašį yra lygi jų projekcijų į šią ašį sumai.

Doc: Tegul, pavyzdžiui, = + + . Turime pr l =+ =+ + - , t.y. pr l ( + + ) = pr l + pr l + pr l (žr. 11 pav.)

RYŽIAI. vienuolika

Vektoriaus ir skaičiaus sandaugos apskaičiavimas:

Vektorių padauginus iš skaičiaus λ, iš šio skaičiaus dauginama ir jo projekcija į ašį, t.y. pr l (λ* )= λ* pr l .

Įrodymas: λ > 0 turime pr l (λ* )= *cos φ = λ* φ = λ*pr l

Kai λl (λ* )= *cos( -φ)=- * (-cosφ) = * cosφ= λ *pr l .

Turtas galioja ir tada, kai

Taigi, tiesinės operacijos su vektoriais veda į atitinkamas tiesines operacijas su šių vektorių projekcijomis.